Contoh Soal Limit Tak Hingga: Penjelasan, Pembahasan, dan Rumus Praktis

Contoh Soal Limit Tak Hingga

HermanAnis.com – Teman-teman semua, pada tulisan kali ini kita akan membahas satu topik dalam pelajaran matematika yakni Contoh Soal Limit Tak Hingga dan Pembahasannya. Kami berikan 27 Contoh Soal Limit Tak Hingga lengkap dengan pembahasannya untuk membantu Anda dalam memahami konsep limit tak hingga.

Baca Juga: Contoh Soal Barisan Geometri

A. Apa itu limit?

Konsep limit di gunakan sebagai penjelas sifat dari suatu fungsi. Misalnya ketika kita ingin mengetahui nilai suatu fungsi pada satu nilai tertentu ataupun pada nilai tak hingga. Konsep ini kemudian di gunakan untuk keperluan analisis matematika dalam mencari nilai turunan suatu fungsi.

Lebih lanjut, melalui fungsi limit kita dapat menjelaskan bagaimana suatu fungsi mendekati titik tertentu. Fungsi sendiri berguna untuk memetakan keluaran misalnya nilai f(x) pada setiap masukan x. Bahasan kita kali ini hanya akan fokus pada limit tak hingga.

Baca juga : Rumus Luas Lingkaran

B. Cara menyelesaikan limit tak hingga

Cara menyelesaikan limit tak hingga dibagi menjadi 3, yaitu (1) substitusi langsung; (2) membagi dengan pangkat tertinggi; (3) merasionalkan penyebut. Sebagai materi prasyarat pada bahasan limit fungsi tak hingga, Anda harus mengingat kembali cara merasionalkan penyebut. Kalo Anda lupa gak perlu khawatir, di tulisan ini akan disajikan contoh soal beserta cara penyelesaiannya secara rinci.

1. Metode Substitusi Langsung

Penerapan metode substitusi langsung dalam menentukan atau menyelesaikan limit fungsi di ketakhinggan sangat mudah, sama halnya dengan limit fungsi aljabar, yakni dengan langsung mengganti x atau variabel lain dengan angka yang tertera di soal, seperti berikut:

Hal ini berlaku pula untuk limit tak hingga:

Sebagai contoh, gunakan metode substitusi untuk menentukan nilai Limit fungsi berikut:

  1. lim x→ ∞ (x+ 3) = ∞ + 3 = ∞
  2. lim x→∞ (x2 + 2x − 4) = (∞)2 + 2(∞) − 4 = ∞ + ∞ − 4 = ∞

2. Membagi dengan Pangkat Tertinggi

Misal kita akan mencari nilai,

Amati bahwa ketika x cukup besar, 1/x semakin kecil. Misalkan,

1/10 = 0,1
1/100 = 0,01
1/10.000 = 0,0001
1/1.000.000 = 0,000001

Nyatanya, dengan mengambil x cukup besar, kita dapat membuat sedekat yang diinginkan ke 0. Oleh karena itu, menurut definisi 1, kita mempunyai

Gambar fungsi y =1/x

Teorema limit yang diberikan pada modul sebelumnya berlaku juga untuk limit tak hingga.

3. Merasionalkan

Mudah-mudahaqn Anda masih ingat pelajaran bagaimana merasionalkan penyebt di SMP. Secara konsep pengetahuan itu akan digunakan dalam penyelesaian limit fungsi tak hingga. Mengapa harus dengan merasionalkan?? Dari namanya juga merasionalkan, maka kita bertujuan agar fungsi irasional yang diberikan dalam limit tak hingga tersebut dapat berubah menjadi rasional. Dengan demikian ini akan memudahkan dalam pengerjaan soalnya. Okay Anda perhatikan contoh soal berikut:

Hitungkah besar nilai dari limit tak hingga,

Cara menyelesaikan soal ini, kita akan mengalikan dengan bentuk sekawan dari fungsi tersebut yakni,

(ingat kembali pelajaran merasionalkannya yaa…). Sehingga akan diperoleh:

Nah cukup sudah caranya, berikut kami berikan 27 contoh soal limit tak hingga lengkap dengan penyelesaiananya.

C. 27 Contoh Soal Limit Tak Hingga

Contoh Soal Limit Tak Hingga yang kita sajikan tulisan ini dari kita mulai dari soal yang paling mudah sampai paling sulit.

Dengan banyak latihan dan memahami konsep dasar dari limit fungsi tak hingga. Bentuk limit fungsi tak hingga biasanya dibagi menjadi dua yaitu limit dengan fungsi pecahan dan limit pengurangan akar. Masing-masing memiliki cara yang sama, hanya saja yang paling umum adalah bentuk pecahannya.

Salah satu cara untuk memperdalam konsep limit tak hingga dengan cara mengerjakan soal-soal latihan limit fungsi tak hingga sebanyak-banyaknya. Mudah-mudahan soal-soal pada artikel ini bisa membantu teman-teman dalam memahami konsep limit tak hingga.

Baca Juga: Contoh Soal Logaritma

1. Contoh Soal Nomor 1.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 1.

Penyelesaian:

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 1

2. Contoh Soal Nomor 2.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 2

Bagi semua suku dengan variabel yang memiliki pangkat tertinggi, untuk soal ini, pangkat tertingginya adalah x3, sehingga kita bagi semua suku dengan x3, dan di peroleh:

Kemudian cari nilai limitnya,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 2

3. Contoh Soal Nomor 3.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 3

Penyelesaian:

Bagi semua suku dengan variabel yang memiliki pangkat tertinggi, untuk soal ini, pangkat tertingginya adalah x2, sehingga kita bagi semua suku dengan x2,

Sehingga akan di peroleh,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 3

Baca Juga: Contoh Soal Bilangan Bulat Positif dan Negatif Kelas 6

4. Contoh Soal Nomor 4.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 4

Penyelesaian:

Bagi semua suku dengan variabel yang memiliki pangkat tertinggi, untuk soal ini, pangkat tertingginya adalah x4, sehingga kita bagi semua suku dengan x4,

dan di peroleh,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 4

Dari Soal Nomor 2 sampai 4 ini, dapat disimpulkan:

Aturan cepat ini bisa anda pakai untuk menjawab cepat soal model nomor 2 sampai 4. Mudah toh!!!!

5. Contoh Soal Nomor 5.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 5

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita bisa memulai dengan merasionalkan bentuk akar dengan cara mengalikannya dengan bentuk sekawan dari fungsi tersebut yakni,

(ingat kembali pelajaran merasionalkannya yaa…)

Kita lanjutkan,

Dari hasil ini diperoleh bahwa,

Bagi semua suku dengan variabel yang memiliki pangkat tertinggi, untuk soal ini, pangkat tertingginya adalah x2, sehingga kita bagi semua suku dengan x2,

dan di peroleh,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 5

6. Contoh Soal Nomor 6.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 6

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita bisa memulai dengan merasionalkan bentuk akar dengan cara mengalikannya dengan bentuk sekawan dari fungsi tersebut yakni,

sehingga akan di peroleh,

kemudian setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi, yakni x2

sehingga diperoleh,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 6

7. Soal Nomor 7.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 7

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita bisa memulai dengan merasionalkan bentuk akar dengan cara mengalikannya dengan bentuk sekawan dari fungsi tersebut yakni,

Sehingga akan diperoleh,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 7

Bagaimana Ananda setelah melihat ketiga contoh teerakhir tersebut? Apakah merasa pusing?

Bentuk soal nomor 5 dan 6 adalah lim𝑥→ ∞ √𝑓(𝑥) − √𝑔(𝑥). Perhatikan pangkat tertingginya. Untuk soal nomor 5 pangkat tertinggi ada di 𝑓(𝑥) maka hasil limitnya sama dengan ∞. Sedangkan soal nomor 6 pangkat tertinggi ada di 𝑔(𝑥) maka hasilnya sama dengan −∞. Sementara, untuk soal nomor 7 baik 𝑓(𝑥) maupun 𝑔(𝑥) pangkatnya sama yaitu 𝑥2, dan hasilnya sama dengan −2.

Olehnya itu, maka kalo ketemu model soal seperti pada nomor 7, anda dapat gunakan rumus praktis berikut:

Jika ada limit dengan bentuk:

𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒑, 𝒒, 𝒓 ∈ 𝑹. Maka rumus praktisnya adalah,

Coba cek kebenaran rumus praktis ini untuk soal nomor 7. Mudah toh….

8. Contoh Soal Nomor 8.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 8

Penyelesaian:

Bagi semua suku dengan variabel yang memiliki pangkat tertinggi, untuk soal ini, pangkat tertingginya adalah x2, sehingga kita bagi semua suku dengan x2,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 8

Atau kalau mau mudahnya, ambil aja koefisien suku x2 (pangkat tertinggi) saja. Jadi,

9. Soal Nomor 9.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 9

Penyelesaian:

Bagi pembilangan dan penyebut dengan x, mudah-mudahan teman-teman sudah paham mengapa dibagi dengan x bukang yang lain!

maka akan di peroleh,

Olehnya itu maka,

Kalau mau cara mudahnya, ambil saja koefisien suku x (pangkat tertinggi) saja.

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 9

Hasilnya sama toh!!!!

10. Contoh Soal Nomor 10.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 10

Penyelesaian:

Selanjutnya kalikan dengan bentuk sekawan dari fungsi tersebut, dan akan diperoleh,

Kemudian bagi pembilang dengan penyebut dengan x (pangkat tertinggi), maka akan diperoleh,

Kalo teman-teman ingin cara cepatnya, bisa gunakan persamaan,

Tapi ingat, ini hanya berlaku jika a=p,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 10

11. Contoh Soal Nomor 11.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 11

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa gunakan rumus praktis berikut ini:

Perhatikan soalnya,

Pada soal, a = 9, b = 1, c = –6, d = 4, e = 2, f = 3, g = 1, h = 5, i = 1.
Jelas syarat,

terpenuhi, sebab

Sehinggga,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 11

12. Contoh Soal Nomor 12.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 12

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa:

untuk setiap nilai x. Bagi semua ruas dengan bilangan positif x
sehingga menjadi:

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 12

Menurut teorema nilai apit,

Singkatnya, karena sin x itu nilainya terbatas dan

13. Contoh Soal Nomor 13.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 13

Penyelesaian:

Kita misalkan 1/x = m, sehingga 1/m = x, dan karena,

Sehingga

dapat dituliskan menjadi,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 13

14. Contoh Soal Nomor 14.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 14

Penyelesaian:

Gunakan bilangan Euler untuk soal ini,

Misalkan, m = n/x. Jika,

Limit di atas menjadi,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 14

15. Contoh Soal Nomor 15.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 15

Penyelesaian:

Soal ini mirip dengan soal sebelumnya. Karena cos nilainya terbatas, maka 1 + cos2x juga terbatas.

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 15

16. Contoh Soal Nomor 16.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 16

Penyelesaian:

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 16

jangan lupa,

17. Contoh Soal Nomor 17.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 18

Penyelesaian:

Untuk memecahkan soal ini, gunakan pemisalan p =3x.

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 17

Baca Juga : Soal Vektor Matematika dan Penyelesaiannya Kelas 10

18. Contoh Soal Nomor 18.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 18

Penyelesaian:

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 18

19. Soal Nomor 19.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 19

Penyelesaian:

Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 19

20. Contoh Soal Nomor 20.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 20

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan manipulasi aljabar seperti berikut ini:

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 20

21. Contoh Soal Nomor 21.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 21

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan mengalikan dengan akar sekawan,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 21

Jika kita gunakan rumus alternatif mungkin hasilnya dapat lebih cepat. Nilai,

itu berarti,

Baca Juga:
Contoh Soal Nilai Mutlak Kelas 10 Kurikulum 2013

22. Soal Nomor 22.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 22

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan mengalikan dengan akar sekawan.

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 22

Jika kita gunakan rumus alternatif mungkin hasilnya dapat lebih cepat. Nilai,

dimana,

23. Soal Nomor 23

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 23

Penyelesaian:

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 23

24. Contoh Soal Nomor 24

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 24

Penyelesaian:

Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 24

25. Soal Nomor 25

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 25

Penyelesaian:

Misalkan 1/x = y, dan cot y = 1/tan y. Maka untuk x mendekati tak hingga, maka y mendekati nol. Sehingga,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 25

26. Contoh Soal Nomor 26

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 26

Penyelesaian:

alkan 1/x = y, dan csc y = 1/sin y. Maka untuk x mendekati tak hingga, maka y mendekati nol. Sehingga,

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 26.

27. Soal Nomor 27

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 27

Penyelesaian:

Misalkan,

Maka untuk y mendekati tak hingga, maka x mendekati nol

Penyelesaian Contoh Soal Limit Tak Hingga Nomor 27.

Baca Juga: Soal Matriks dan Jawabannya Kelas 11

Download file pdfnya di Sini!

Sumber: Yuyun Sri. 2020. Limit Fungsi di Ketakhinggaan dan berbagai sumber lain.

Demikian,
semoga ada manfaaat

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

close