HermanAnis.com – Hai semuanya, bahasan kita kali ini adalah Rumus Luas Lingkaran. Bagi teman-teman yang sudah tahu rumus ini, ada yang tau gak mengapa rumus luas lingkaran seperti itu? Nah, kalau belum, tulisan berikut ini akan membantu anda menjawabnya.
Jika ada luasan berbentuk kontur lingkaran, apakah lingkarannya penuh atau tidak. Maka, secara umum rumus luas lingkaran tersebut adalah,
Di mana,
- A adalah luas lingkaran.
- Ɵ adalah besar sudut yang membetuk kontur lingkaran. Misalkan, jika konturnya setengah lingkaran maka sudutnya adalah 90 derajat.
- π adalah konstanta, nilainya 22/7 atau 3,14.
- r adalah jari-jari lingkaran.
Sebagai contoh. Jika lingkaran itu penuh maka Ɵ = 360 derajat, dengan demikian maka rumus luas lingkaran tersebut adalah,
A = π r 2
atau boleh juga menggunakan:
Untuk rumus ini, ini teman-teman perlu catat bahwa Ɵ harus dalam satuan radian.
Persamaan ini mungkin yang paling sering di gunakan. Selanjutnya kita akan menjwab mengapa rumusnya bisa seperti ini?
Baca juga : Contoh Soal Limit Tak Hingga
A. Rumus Luas Bangun Datar
Sebelum kita membahas detail tentang rumus luas lingkaran, kita bahas dulu konsep umum luasan dari suatu bangun datar. Selama ini, mungkin teman-teman, ada yang sudah hafal rumus luas persegi panjang. Panjang di kali lebar, atau yang biasa di tuliskan,
A = p x l
Dengan, A = menyatakan luas, p adalah panjang dan l adalah lebar.
Misalkan kita memiliki bangun datar berbentuk persegi panjang seperi pada gambar di bawah ini:
Dari gambar di atas, berapakah luasnya? tentu pertanyaan ini bisa langsung dijawab. Panjangnya 4 satuan, lebarnya 3 satuan, sehingga luasnya adalah 12 satuan. Tapi, hmmm, kenapa rumus luas persegi itu panjang dikalikan lebar? jika belum bisa jawab pertanyaan ini, silahkan ikuti pembahasan berikut ini.
Untuk luasan benda yang berada pada bidang xy, untuk Rumus luas dari suatu bidang datar sering dituliskan dalam bentuk:
Dengan begitu, teman-teman bisa kembangkan jika luasan itu terletak pada bidang yz, atau xz.
Kita lanjutkan. Berdasarkan gambar, persegi di bentuk atau di batasi oleh garis yang memotong sumbu x pada titik x = 0 dan x = 4, sementara untuk garis yang memotong sumbu y di titik y =0 dan y = 3. Daerah yang di batasi keempat garis inilah yang membentuk luasan yang kita simbolkan dengan A.
Dengan demikian, maka batas integrasi untuk perubahan x atau dx adalah dari x = 0 sampai x = 4, dan batas untuk perubahan y atau dy adalah dari y = 0 sampai y = 3.
Olehnya itu, persamaannya dapat dituliskan dalam bentuk,
sehingga akan di peroleh,
Nah, sudah paham kan. Selanjutnya, bagaimana jika bentuk bidangnya tidak persegi, tapi melengkung. Misalnya seperti lingkaran, penuh atau setengah lingkaran? Untuk menjawab ini, Anda perlu mengubah sistem koordinat kartesian tadi menjadi koordinat polar.
Baca juga: Sikap Lilin dalam Senam Lantai
B. Rumus Luas Lingkaran
Sebelum kita bahas lebih lanjut, kita buat dulu lingkarannya. Untuk memudahkan pembahasan, kita buat dulu lingkarannnya di sistem koordinat kartesian (pada bidang xy).
Baca Juga : Rumus Keliling Lingkaran
Lingkaran dapat di buat dengan menarik garis lurus dari pusat koordinat kartesian, sepanjang sumbu x, panjang garis lurus ini kita simbolkan R. Kemudian ujung R di putar sebesar Ɵ, seperti pada gambar (1) di atas. Pada saat di putar, pangkalnya garis di buat tetap berada di pusat koordinat kartesian. Sapuan garis inilah yang akan membentuk luasan berbentuk lingkaran seperti gambar (2).
Untuk membentuk satu lingkaran penuh, kita harus memutar R sebesar 360 derajat. R ini kemudian kita sebut sebagai jari-jari lingkaran.
Dari sini, kita bisa simpulkan bahwa, untuk membuat kontur lingkaran kita perlu membuat garis lurus atau jari-jari R dan kemudian memutarnya dengan sudut (Ɵ) teta tertentu. Jadi, ada dua variabel yang berubah yaitu R dan Ɵ.
Dengan begitu maka luasan lingkaran dapat di tuliskan menjadi,
Dengan J adalah Jacobian dari luasan pada bidang xy untuk koordinat polar. Berarti untuk mencari rumus luas lingkaran kita perlu mencari Jacobiannya dulu. Di buku sebenarnya sudah di sediakan bahwa jacobiannya adalah R. Bagi ingin tahu cara memperolehnya berikut penjelasannnya.
Perharikan gambar di bawah ini!
Dari gambar, kita dapat menghubungkan fungsi f (x,y) dengan fungsi f(R,Ɵ). Untuk memperoleh besar Jacobian J, berikut analisisnya.
Sehingga rumus luas lingkaran dapat di tuliskan,
Misalkan ada lingkaran berjari-jari r, maka rumus luas lingkaran tersebut adalah:
Itulah mengapa rumus luas lingkaran dituliskan menjadi,
A = π r 2
Baca Juga : Contoh Soal Matriks dan Jawabannya Kelas 11
Bagaimana menggunakan rumus luas lingkaran ini, berikut kami berikan contohnya penggunaannya.
C. Contoh penggunaan Rumus Luas Lingkaran
1. Contoh soal penggunaan rumus Luas Lingkaran nomor 1
Di berikan lingkaran seperti pada gambar di bawah ini, tentukanlah berapa besar luasnya!
Penyelesaian:
Dari gambar terlihat bahwa jari-jari lingkaran adalah 3 cm dan lingkarannya penuh, sehingga batas integrasi untuk R adalah dari R= 0 cm sampai dengan R = 3 cm. Sedangkan batas integrasi untuk Ɵ adalah, dari Ɵ = 0 sampai Ɵ = 2 π.
Sehingga rumus luas lingkarannnya menjadi,
Sehingga akan diperoleh luas sebesar 9 π cm2.
Selain itu, kita juga bisa langsung menggunakan rumus luas lingkaran yang telah diperoleh sebelumnya yaitu,
A = π r 2 = π (3)2 = 9 π cm2
Hasil yang di peroleh akan sama.
Baca Juga: Pembuktian Teorema Pythagoras
2. Contoh soal penggunaan rumus Luas Lingkaran nomor 2
Di berikan kontur lingkaran seperti pada gambar di bawah ini, tentukanlah berapa besar luasnya!
Penyelesaian:
Dari gambar terlihat bahwa jari-jari lingkaran adalah 3 cm dan lingkarannya tidak penuh, sehingga batas integrasi untuk R adalah dari R= 0 cm sampai dengan R = 3 cm. Sedangkan batas integrasi untuk Ɵ adalah, dari Ɵ = 0 sampai Ɵ = 3/2 π.
Sehingga rumus luas lingkarannnya menjadi,
Dengan demikian maka luas lingkaran tersebut adalah 27π/4 cm2 .
Selain itu, kita juga bisa langsung menggunakan rumus luas lingkaran yang telah diperoleh sebelumnya yaitu,
A = π r 2 = π (3)2 = 9 π
Luas ini jika lingkarannya penuh, karena lingkarannya tidak penuh, ada 1/4 bagian yang hilang maka luasnya adalah 3/4 dari luas seluruhnya. Tentu saja kita akan peroleh hasil yang sama yaitu 27π/4 cm2 .
Nah, bagaimana jika sudut yang di ketahui bukan sudut-sudut istimewa. Berikut contohnya.
3. Contoh soal penggunaan rumus Luas Lingkaran nomor 3
Diberikan kontur lingkaran seperti pada gambar di bawah ini, tentukanlah berapa besar luasnya!
Penyelesaian:
Dari gambar terlihat bahwa jari-jari lingkaran adalah 3 cm dan lingkarannya tidak penuh. Batas integrasi untuk R adalah dari R= 0 cm sampai dengan R = 3 cm.
Sedangkan batas integrasi untuk Ɵ adalah, dari Ɵ = 0 sampai Ɵ = 1470. Nah, 1470 ini masih dalam satuan derajat, kita harus ubah menjadi satuan radian dulu. Karena,
maka 147 derajat setara dengan 147π/180
Dengan demikian maka batas untuk batas integrasi untuk Ɵ adalah, dari Ɵ = 0 sampai Ɵ = 147π/180, sehingga,
Dengan demikian maka luas lingkaran tersebut adalah 1323π/360 cm2 .
Baca Juga : Contoh Soal Nilai Mutlak Kelas 10 Kurikulum 2013
D. Kesimpulan
Berdasarkan analisis dari contoh soal yang diselesaikan di atas maka dapat disimpulkan bahwa:
- Rumus luas lingkaran jika lingkarannnya penuh (utuh) adalah,
A = π r 2
- Rumus luas lingkaran yang tidak utuh (luas juring) seperti berikut. Untuk rumus ini, ini teman-teman perlu catat bahwa Ɵ harus dalam satuan radian.
- Jika lingkarannnya tidak utuh dan jari-jarinya tetap, maka rumus luas lingkaran tersebur adalah:
Dimana,
- A adalah luas lingkaran
- Ɵ adalah besar sudut yang membetuk kontur lingkaran. Misal, jika konturnya setengah lingkaran maka sudtnya adalah 90 derajat.
- π adalah konstanta yakni 22/7 atau 3,14 (radian).
- r adalah jari-jari lingkaran. Ingat Rumus luas di atas hanya untuk kontur lingkaran yang r tetap.
Contoh:
Berapakah luasan kontur lingkaran dengan jari-jari 3 cm dan di putar dari sampai 90 derajat.
Cocok toh!
Baca Juga: Contoh Soal Bilangan Bulat Positif dan Negatif Kelas 6
Terima kasih telah membaca artikel ini
Semoga ada manfaat.
Eksplorasi konten lain dari Herman Anis
Berlangganan untuk dapatkan pos terbaru lewat email.
