Contoh Soal Vektor dan Pembahasannya untuk Kelas 10: Latihan Efektif dan Penjelasan Lengkap

HermanAnis.com – Contoh Soal Vektor dan Pembahasannya untuk Kelas 10 dalam tulisan ini diharapkan dapat bermanfaat untuk membantu siswa memahami konsep dasar vektor dalam pelajaran matematika dan fisika. Dalam artikel ini, kami menyediakan berbagai contoh soal vektor yang relevan untuk Kelas 10, lengkap dengan pembahasan rinci. Setiap soal kami sajikan dengan langkah-langkah penyelesaian yang jelas, memudahkan Anda untuk mengikuti dan memahami penerapan konsep vektor dalam berbagai situasi.

Kami berfokus pada penyajian materi yang praktis dan informatif untuk mendukung proses belajar Anda. Dengan latihan soal dan penjelasan yang kami berikan, siswa dapat meningkatkan keterampilan mereka dalam matematika dan siap menghadapi ujian dengan lebih percaya diri. Artikel ini bertujuan menjadi sumber belajar yang efektif bagi siswa dan siapa saja yang ingin memperdalam pemahaman mereka tentang vektor.

Baca Juga: Contoh Soal Bilangan Bulat Positif dan Negatif Kelas 6

A. Contoh Soal Vektor Matematika dan Penyelesaiannya Kelas 10

Sebelum kita membahas Contoh Soal Vektor Matematika dan Penyelesaiannya Kelas 10, kita kaji dulu teori dasar tentang vektor. Jika anda adalah peserta didik, maka materi ini juga akan bermanfaat pada mata pelajaran fisika.

Secara defenisi, besaran vektor merupakan besaran yang memiliki besar dan arah, seperti posisi, perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, tekanan, dan lainnya. Selain besaran vektor kita juga mengenal istilah besaran skalar. Besaran ini merupakan besaran yang hanya memiliki besar saja, seperti jarak, kelajuan, suhu, massa, volume, dan lainnya.

Dalam bahasan kita kali ini, kita akan membahas besaran vektor pada bidang dan vektor dalam ruang. Vektor pada bidang (dua dimensi) di notasikan dengan

,

sedangkan vektor pada volume (tiga dimensi) dinotasikan dengan

.

Secara geometri vektor di lukiskan sebagai sebuah anak panah, dengan titik pangkal sebagai A(a₁, a₂, a₃) dan titik ujung sebagai B(b₁,b₂,b₃). Bentuknya seperti gambar di bawah,

Sementara penulisan besaran vektor menggunakan notasi seperti

ketiganya di baca Vektor A, vektor B, dan Vektor AB. Selain itu, vektor juga dapat di nyatakan dalam bentuk vektor baris, vektor basis dan vektor kolom.

Vektor baris,

Nah, Vektor basis,

Vektor. kolom,

Baca Juga: Contoh Soal Nilai Mutlak Kelas 10 Kurikulum 2013

B. Macam-macam Vektor

Terdapat dua jenis vektor, vektor nol dan vektor satuan. Vektor nol merupakan vektor yang titik pangkal dan titik ujungnya saling berimpit (sama), vektor ini di notasikan dengan .

Vektor nol memiliki panjang nol dengan arah yang tak tentu. Contohnya:

Vektor satuan merupakan vektor yang besarnya atau panjangnya satu satuan. Vektor ini di lambangkan dengan notasi dengan:

Baca juga : Rumus Luas Lingkaran

C. Operasi Matematis Vektor

1. Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor dengan metode segitiga,
Misalkan ada dua vektor, A dan B,

Maka vektor A + B dapat di gambarkan dengan cara meletakkan pangkal dari salah satu vektor ke ujung dari vektor yang lain, kemudian hubungkan pangkal dari vektor pertama dengan ujung dari vektor kedua.
Perhatikan gambar berikut!

Penjumlahan vektor dengan metode jajaran genjang,
Misalkan kita masih menggunakan vektor A dan B yang sama maka hasil penjumlahan vektor A+B dengan metode jajaran genjang di berikan dalam gambar di bawah!

Baca Juga: Contoh Soal HOTS SD – Kisi-kisi dan Kartu Soal

Sifat-sifat penjumlahan vektor

• Sifat komutatif (pertukaran)

• Sifat assosiatif (pengelompokan)

• Unsur identitas

• Invers tambah atau invers aditif. Invers dari vektor A adalah -A

Secara analitik, dua buah vektor yang di operasikan dengan cara di jumlahkan, dengan,

dan

maka,

• A + B = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)
• |A + B|² =|A|² + |B|² + |A| |B|

2. Pengurangan Vektor

Dengan vektor yang sama maka,

• A – B = (a₁ – b₁, a₂ – b₂, a₃ – b₃)
• |A – B|² =|A|² + |B|² – |A| |B|
  di mana merupakan sudut antara vektor A dan B.

3. Perkalian Vektor

Perkalian skalar
Misalkan vektor

dan k merupakan bilangan real, maka

4. Perkalian titik

Misalkan dua vektor A dan B

Perkalian titik antara vektor A dan B, atau sering di baca A dot B, dapat di ilustrasikan

A cos α merupakan komponen vektor A yang searah dengan vektor B, sehingga perkalian titik antara vektor A dan B dapat di tuliskan menjadi,

A . B = BA cos α =  |B| |A| cos α

Perkalian titik di lambangkan dengan tanda titik (.) di mana,

• |A| ialah besar vektor A
• |B| ialah besar vektor B
• α adalah sudut antara vektor A dengan vektor B, dengan rentang 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰.

Sehingga dapat di simpulkan bahwa perkalian titik antara dua buah vektor akan menghasilkan besaran skalar.

Baca juga: Contoh Soal Limit Tak Hingga

Prinsip Perkalian Titik Dua Vektor

Dalam perkalian ini terdapat beberapa hal penting yang harus di perhatikan seperti:

1. A . B = 0 → cos 90⁰ = 0, apabila vektor A tegak lurus dengan vektor B sehingga nilai α = 90⁰.
2. A . B = AB → cos 0⁰ = 1, apabila vektor A searah dengan vektor B sehingga nilai α = 0⁰.
3. A . B = -AB → cos 180⁰ = -1, apabila vektor A berlawanan arah dengan vektor B sehingga nilai α = 180⁰.

Jika vektor,

dan

maka,

A . B = (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)

atau,

A . B =|A|.|B|

di mana merupakan sudut antara vektor A dan B.

Dalam sistem koordinat kartesian, misalkan bahwa vektor A dan B dapat di nyatakan dalam bentuk:

Sehingga perkalian dot produk antara vektor A dan B dalam sistem kartesian dapat dituliskan,

Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor,

• A (B + C) = A . B + A . C (Distributif)
• A . B = B . A (Komutatif)

Prinsip Perkalian Titik Dua Vektor

Baca Juga: Soal PPG IPA dan Pembahasannya: Usaha dan Energi, Pesawat Sederhana dan Kinematika Gerak?

D. Contoh Soal Vektor

Berikut kami berikan contoh contoh soal vektor:

1. Contoh Soal Vektor 1

Seorang penumpang akan berangkat dari kota A ke kota B. Kota A terletak sejauh 300 km arah selatan kota Makassar, sedangkan kota B terletak sejauh 700 km arah timur kota makassar. Hitunglah:

a. Jarak terdekat kota A ke kota B, gunakan analisis vektor untuk menyelesaikannya!
b. Tentukan jarak kota A ke kota B jika penumpang melewati kota Makassar.

Penyelesaian:

a. Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menetapkan pusat koordinatnya terlebih dahulu. Ambil kota makassar sebagai pusat koordinat. Karena kota A teletak 300 km arah selatan maka koordinatnya adalah (0,300). Kota B terletak sejauh 700 km arah timur kota makassar sehingga, koordinatnya adalah (700,0). Dalam vektor dapat dituliskan:

A = 300j
B = 700i

Jadi jarak kota A ke B terdekat adalah |B – A| = {700² – 300²}^1/2 = 100 x {49 – 9}^1/2 = 200 {10}^1/2 .

b. Jarak kota A ke kota B jika penumpang melewati kota Makassar, 300 km + 700 km = 1000 km.

2. Contoh soal Vektor 2

Contoh Soal Vektor nomor 1. Diketahui, dua vektor a dan b masing masing adalah a (2, -3, 5) dan b (-1, 4, -2).

• Nyatakan kedua vektor tersebut dalam bentuk vektor posisi!
• Tentukan besar atau mudulus dari vektor a dan b!
• Tentukan besar penjumlahan a + b dan 2a – 3b!

Penyelesaian:

• Karena vektor a (2, -3, 5) dan b (-1, 4, -2) maka notasinya dalam vektor posisi adalah:
  a = 2i – 3j + 5k
  b = –i + 4j – 2k
  dimana i, j, k merupakan vektor satuan, besarnya vektor satuan adalah satu satuan yang arahnya masing-masing i menunjuk arah sumbu x positif, j kearah sumbu y positif dan k kearah sumbu z positif.
• Modulus atau besar vektor a dan b adalah
  |a| = [(2)² + (-3)² + (5)²]^1/2 =[4+9+25]^1/2= [38]^1/2
  |b| = [(-1)² + (4)² + (-2)²]^1/2 =[1+16+4]^1/2= [21]^1/2
  dimana |a| = dibaca besarnya vektor a dst-nya.

Baca Juga: Contoh Soal Matriks dan Pembahasan : Matematika kelas 11 SMA

3. Contoh Soal 3

Contoh Soal Vektor nomor 2. Diketahui vektor a = 2i + 3j + 2k dan vektor b = 3i + 2j – 3k. Tentukan hasil perkalian silang kedua vektor atau a x b!

Penyelesaian:

Buat dulu perkalian kedua vektor dalam matriks, bentuknya seperti ini kira-kira,

Kemudian akan diperoleh,

Sehingga akan di dapat:

a x b = -13i + 12j – 5k

Baca juga: Contoh Soal Bilangan Bulat Positif dan Negatif

4. Contoh Soal Vektor 4

Contoh Soal Vektor soal nomor 4. Hitunglah sudut yang di bentuk antara dua vektor a = i + 2j + 2k dan vektor b = 2i + 3j – 6k!

Penyelesaian:

Maka akan di peroleh,

Dengan menggunakan kalkulator maka akan di dapat

4. Contoh Soal 4

Contoh Soal Vektor nomor 4. Jika diketahui vektor U dan V membentuk sudut 60 derajat. Jika besar U atau |U| = 2 dan besar V atau |V| = 5, maka tentukan besar nilai U(V + U)!

Penyelesaian:

Pertama-tama uraikan persamaan U(V + U). Uraiannya adalah,

U(V + U) = U.V + U²

Karena U.V = |U||V|cos 60 maka

U(V + U) = |U||V|cos 60 + U²

sehingga di peroleh,

U(V + U) = (2)(5)cos 60 + 2² = 10 x (1/2) + 4 = 9

Baca juga: Contoh Soal Nilai Mutlak dan Jawabannya untuk Kelas 10 SMA: Latihan Lengkap dan Pembahasan

5. Contoh Soal vektor 5

Contoh Soal Vektor berikutnya.

Jika a = ti – 2j + hk dan b = (t +2)i + 2j + 3k dan a = – b maka tentukanlah besar vektor a dan b!

Penyelesaian:

Karena a = -b maka dapat kita tuliskan,

ti – 2j + hk = -[(t +2)i + 2j + 3k]

ti – 2j + hk = -ti – 2i – 2j – 3k

Berdasarkan padanan koefisiennya setiap vektor satuan i, j dan k ruas kiri dan kanan.

t = -1 dan h = -3

sehingga,

a = ti – 2j + hk = -i -2j -3k

b = (t +2)i + 2j + 3k = i + 2j +3k

Demikian pembahasan tentang Contoh Soal Vektor Matematika.

Baca Juga: Soal Matematika Kelas 4

Semoga bermanfaat.