Contoh Soal Logaritma

Contoh Soal Logaritma

HermanAnis.com. Teman-teman semua, pada kesempatan ini kita akan membahas satu topik dalam pelajaran matematika yakni contoh soal logaritma. Contoh soal logaritma yang akan di sajikan telah di lengkapi dengan pembahasan untuk memudahkan memahaminya.

A. Pengertian Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan, logaritma di definisikan sebagai berikut:

Misalkan a, b, c ∈ 𝑅, a> 0, π‘Ž β‰  1, dan c > 0, maka berlaku jika π‘Žπ‘ = 𝑐 maka logπ‘Ž 𝑐 = 𝑏

Keterangan :
a = bilangan pokok (basis), syarat : π‘Ž > 0 dan π‘Ž β‰  1
c = numerus, syarat : 𝑐 > 0
b = hasil/nilai logaritma

Note:
Basis 10 biasanya tidak di tuliskan, log10 π‘₯ = log x.

Baca juga:
Rumus Luas Lingkaran: Cara menghitung dan contoh soal

B. Sifat-sifat Logaritma

Sifat-sifat logaritma yang akan sering Anda pakai nantinya adalah,

Sifat-sifat logaritma

Pembuktian :
Misal logπ‘Ž π‘₯ = π‘š , maka π‘₯ = π‘Žπ‘š, oleh karena itu di peroleh π‘Žlogπ‘Ž π‘₯ =π‘Žπ‘š = x.

Baca Juga:
Contoh Soal Matriks dan Jawabannya Kelas 11

C. Persamaan Logaritma

Bentuk Persamaan Logaritma:

  • logπ‘Ž 𝑓(π‘₯) = logπ‘Ž 𝑏 β†’ 𝑓(π‘₯) = 𝑏. Dengan π‘Ž > 0, π‘Ž β‰  1, 𝑓(π‘₯) > 0, dan 𝑏 >0
  • logπ‘Ž 𝑓(π‘₯) = logπ‘Ž 𝑔(π‘₯) β†’ 𝑓(π‘₯) = 𝑔(π‘₯). Dengan π‘Ž > 0, π‘Ž β‰  1, 𝑓(π‘₯) > 0, dan 𝑔(π‘₯) > 0
  • logπ‘Ž 𝑓(π‘₯) = log𝑏 𝑓(π‘₯) β†’ 𝑓(π‘₯) = 1. Dengan π‘Ž, 𝑏 > 0, π‘Ž, 𝑏 β‰  1, π‘Ž β‰  𝑏, dan 𝑓(π‘₯) > 0
  • log𝑓(π‘₯) 𝑔(π‘₯) = log𝑓(π‘₯) β„Ž(π‘₯) β†’ 𝑔(π‘₯) = β„Ž(π‘₯). Dengan 𝑓(π‘₯) β‰  1, 𝑓(π‘₯) > 0, 𝑔(π‘₯) > 0, dan β„Ž(π‘₯) > 0.
  • log𝑓(π‘₯) β„Ž(π‘₯) = log𝑔(π‘₯) β„Ž(π‘₯) β†’ 𝑓(π‘₯) = 𝑔(π‘₯), β„Ž(π‘₯) = 1. Dengan β„Ž(π‘₯) > 0, 𝑓(π‘₯) β‰  1, 𝑓(π‘₯) > 0, 𝑔(π‘₯) β‰  1 dan 𝑔(π‘₯) > 0
  • 𝐴(logπ‘Ž 𝑓(π‘₯))2 + 𝐡 logπ‘Ž 𝑓(π‘₯) + 𝐢 = 0

D. Pertidaksamaan Logaritma

Bentuk Pertidaksamaan Logaritma

  • Bilangan pokok π‘Ž > 1
    1. logπ‘Ž 𝑓(π‘₯) > logπ‘Ž 𝑔(π‘₯) β†’ 𝑓(π‘₯) > 𝑔(π‘₯) dengan 𝑓(π‘₯), 𝑔(π‘₯) > 0
    2. logπ‘Ž 𝑓(π‘₯) β‰₯ logπ‘Ž 𝑔(π‘₯) β†’ 𝑓(π‘₯) β‰₯ 𝑔(π‘₯) dengan 𝑓(π‘₯), 𝑔(π‘₯) > 0
    3. logπ‘Ž 𝑓(π‘₯) < logπ‘Ž 𝑔(π‘₯) β†’ 𝑓(π‘₯) < 𝑔(π‘₯) dengan 𝑓(π‘₯), 𝑔(π‘₯) > 0
    4. logπ‘Ž 𝑓(π‘₯) ≀ logπ‘Ž 𝑔(π‘₯) β†’ 𝑓(π‘₯) ≀ 𝑔(π‘₯) dengan 𝑓(π‘₯), 𝑔(π‘₯) > 0 b.
  • Bilangan pokok 0 < π‘Ž < 1
    1. 1. logπ‘Ž 𝑓(π‘₯) > logπ‘Ž 𝑔(π‘₯) β†’ 𝑓(π‘₯) < 𝑔(π‘₯) dengan 𝑓(π‘₯), 𝑔(π‘₯) > 0
    2. logπ‘Ž 𝑓(π‘₯) β‰₯ logπ‘Ž 𝑔(π‘₯) β†’ 𝑓(π‘₯) ≀ 𝑔(π‘₯) dengan 𝑓(π‘₯), 𝑔(π‘₯) > 0
    3. logπ‘Ž 𝑓(π‘₯) < logπ‘Ž 𝑔(π‘₯) β†’ 𝑓(π‘₯) > 𝑔(π‘₯) dengan 𝑓(π‘₯), 𝑔(π‘₯) > 0
    4. logπ‘Ž 𝑓(π‘₯) ≀ logπ‘Ž 𝑔(π‘₯) β†’ 𝑓(π‘₯) β‰₯ 𝑔(π‘₯) dengan 𝑓(π‘₯), 𝑔(π‘₯) > 0

Kesimpulan:

  • Jika bilangan pokok(basis) π‘Ž > 1, hanya perlu memperhatikan numerus pada masing masing logaritma, gunakan tanda penghubung ketidaksamaan yang sama
  • Jika bilangan pokok(basis) 0 < π‘Ž < 1, hanya perlu memperhatikan numerus pada masing masing logaritma, gunakantanda penghubung ketidaksamaan yang sama.
  • Jika bilangan pokok(basis) 0 < π‘Ž < 1, hanya perlu memperhatikan numerus pada masing masing logaritma, gunakan tanda penghubung ketidaksamaan yang berlawanan.
  • Selalu cek numerus, setiap numerus harus bernilai positif.

Baca Juga:
Contoh Soal Limit Tak Hingga

E. Grafik Fungsi Logaritma

Di berikan 𝑓(π‘₯) = logπ‘Ž π‘₯ dengan π‘Ž, π‘₯ > 0 dan π‘Ž β‰  1

  1. Jika 𝑓(π‘₯) di geser ke kanan (searah sumbu π‘₯ positif) sebesar b satuan, akan menghasilkan 𝑔(π‘₯) dimana, 𝑔(π‘₯) = logπ‘Ž(π‘₯ βˆ’ 𝑏)
  2. Jika 𝑓(π‘₯) di geser ke kiri (searah sumbu π‘₯ negatif) sebesar b satuan, akan menghasilkan 𝑔(π‘₯) dimana 𝑔(π‘₯) = logπ‘Ž(π‘₯ + 𝑏)
  3. Jika 𝑓(π‘₯) di geser ke atas (searah sumbu y positif) sebesar c satuan, akan menghasilkan 𝑔(π‘₯) dimana 𝑔(π‘₯) = logπ‘Ž π‘₯ + 𝑐
  4. Jika 𝑓(π‘₯) di geser ke bawah (searah sumbu y negatif) sebesar c satuan, akan menghasilkan 𝑔(π‘₯) di mana, 𝑔(π‘₯) = logπ‘Ž π‘₯ βˆ’ 𝑐

Di berikan fungsi 𝑦 = logπ‘Ž (π‘₯ + 𝑏) + 𝑐. Asimtotnya garis π‘₯ = βˆ’π‘
Di berikan fungsi 𝑦 = logπ‘Ž 𝑔(π‘₯). Nilai Maksimum dan Minimum:

  • Jika π‘Ž > 1
    Nilai fungsi 𝑦 maksimum saat numerus 𝑔(π‘₯) maksimum Nilai fungsi 𝑦 minimum saat numerus 𝑔(π‘₯) minimum b.
  • Jika 0 < π‘Ž < 1
    Nilai fungsi 𝑦 maksimum saat numerus 𝑔(π‘₯) minimum. Nilai fungsi 𝑦 minimum saat numerus 𝑔(π‘₯) maksimum.

F. Contoh Soal Logaritma

1. Contoh Soal Logaritma Nomor 1.

Hitunglah besar dari 2log 4 + 2log 12 – 2log 6!

Penyelesaian:

Untuk soal seperti di atas, maka kita perlu mengingat sifat logaritma,

Sifat-sifat logaritma

sehingga, untuk menyelesaikan soal di atas, kita gunakan kedua sifat logaritma tersebut. Dimana perhitungannya akan menjadi:

Contoh Soal Logaritma Nomor 1.

Kemudian, untuk penyelesaian akhir, kita perlu mengingat sifat berikutnya, yaitu:

Sifat-sifat logaritma

sehingga, penyelesaian akhirnya akan menjadi seperti berikut ini:

2. Soal Logaritma Nomor 2.

Hitunglah nilai x dari xlog2 = -0,4

Penyelesaian:

Contoh Soal Logaritma Nomor 2.

3. Contoh Soal Logaritma Nomor 3.

Tentukan nilai x yang memenuhi alog (3x-1) 5log a = 3

Penyelesaian:

alog (3x-1) 5log a = 3 —> 5log (3x-1) = 3

sehingga akan di peroleh,

Contoh Soal Logaritma Nomor 3.

4. Soal Logaritma Nomor 4.

Tentukan nilai x yang memenuhi,

Contoh Soal Logaritma Nomor 4.

Penyelesaian:

Dan yang memenuhi adalah x = 6.

5. Contoh Soal Logaritma Nomor 5.

Jika a = 0,111…. maka tentukan maka nilai dari 4log 729.

Penyelesaian:

Contoh Soal Logaritma Nomor 5

6. Soal Logaritma Nomor 6.

Jabarkanlah bentuk logaritma dari,

Contoh Soal Logaritma Nomor 6.

Penyelesaian:

Contoh Soal Logaritma Nomor 6.

7. Contoh Soal Logaritma Nomor 7.

Tentukan nilai dari 2log 48 + 5log 50 – 2log 3 – 5log 2

Penyelesaian:

Sebelum mengerjakan, mari kita lihat perbedaan antara soal no. 1 dengan no. 7 ini.
Perbedaannya adalah :

  • Pada soal no. 1, indeks logaritma merupakan indeks yang seragam (indeks 2)
  • Sedangkan pada soal no. 7, indeks logaritma yang digunakan indeks tidak seragam (indeks 2 dan indeks 5)

Nah, tentu saja dengan perbedaan seperti ini, maka kita tidak bisa langsung menyelesaikannya seperti soal no. 1 di atas. Akan tetapi, soal no. 7 ini perlu di utak-atik sedikit supaya bisa di selesaikan dengan sifat-sifat yang ada.

Utak-atik yang perlu kita lakukan adalah dengan menggabungkan masing-masing logaritma dengan yang sejenis atau ber-indeks sama (indeks 2 dengan indeks 2, indeks 5 dengan indeks 5), sehingga soal tersebut

2log 48 + 5log 50 – 2log 3 – 5log 2

akan menjadi,

2log 48 – 2log 3 + 5log 50 – 5log 2

Kemudian, soal tersebut bisa kita hitung dengan sifat:

Sifat-sifat logaritma

Maka akan di peroleh,

Contoh Soal Logaritma Nomor 7.

Sekarang kita gunakan sifat berikutnya:

alog bn= n . alog b

Dan juga gunakan sifat: alog a = 1

Sehingga, penyelesaiannya akan menjadi:

2log 24 + 5log 52 = 4 . 2log 2 + 2 . 5log 5

2log 24 + 5log 52 = 4 + 2 = 6

8. Soal Logaritma Nomor 8.

Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010, maka tentukan nilai dari log 75.

Penyelesaian:

Untuk soal yang modelnya begini ini, ada kunci pengerjaannya yang harus kita paham. Yaitu adalah keterangan yang menunjukkan nilai log 2 dan log 3. Dengan adanya keterangan tambahan tersebut, berarti yang harus ada di pikiran kita adalah bagaimana mengubah bentuk log 75 menjadi bentuk logaritma yang mengandung unsur bilangan 2 dan 3.

75 = 3 . 25 = 3 . 52

Sehingga, bila kita ubah bilangan 75 tersebut dengan 3 . 52 maka akan kita dapatkan:

log 75 = log (3 . 52)

dengan menggunakan sifat,

alog (b.c) = alog b + alog c

akan di peroleh,

log 75 = log 3 + log 52

kemudian dengan menggunakan sifat,

alog bn = n. alog b

akan di peroleh,

log 75 = log 3 + 2. log 5

Dengan mengubah bilangan 5 pada log 5 tersebut, karena di dalam soal yang diberi keterangan adalah log 2 dan log 3, sedangkan log 5 tidak di beri keterangan apapun. Untuk itu, trik yang perlu di lakukan di sini adalah:

5 = 10/2

Bilangan 5 tersebut perlu kita ubah ke dalam suatu bilangan yang mengandung unsur bilangan 2 dan nilainya tidak berubah (tetap bernilai 5). Sehingga, jika kita selesaikan, akan menjadi:

karena dari sifat,

Sifat-sifat logaritma

kita bisa tuliskan,

Karena, log 10 = 1, log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010 maka akan di peroleh,

log 75 = log 3 + 2. (1 – log 2)

log 75 = = 0,4771 + 2 .(1 – 0,3010)

log 75 = = 1,8751

9. Contoh Soal Logaritma Nomor 9.

Jabarkanlah bentuk logaritma dari,

Penyelesaian:

Contoh Soal Logaritma Nomor 9.

10. Soal Logaritma Nomor 10.

Tentukan nilai x dari,

Penyelesaian:

Contoh Soal Logaritma Nomor 10.

11. Contoh Soal Logaritma Nomor 11.

Tentukan nilai x dari,

Penyelesaian:

Contoh Soal Logaritma Nomor 11.

12. Soal Logaritma Nomor 12.

Modal sebesar Rp 30.000.000,00 di simpan di sebuah bank yang memberikan suku bunga majemuk sebesar 12% per tahun. Berapa tahunkah modal itu di simpan di bank agar modalnya menjadi Rp 39.000.000,00?

Penyelesaian:

Gunakan persamaan:

Mn = M0 (1 + r)n

dengan,

Mn = modal akhir
M0 = modal awal
r = suku bunga dalam %
n = waktu (bisa satun, bulan, dll)

Sehingga dengan persamaan tersebut, maka akan di peroleh,

Contoh Soal Logaritma Nomor 12.

Maka, modal itu di simpan di bank selama 2,3 tahun agar modalnya menjadi Rp 39.000.000,00.

13. Contoh Soal Logaritma Nomor 13.

Tentukan nilai dari,

Contoh Soal Logaritma Nomor 14.

Penyelesaian:

Pada soal kali ini, masih mirip dengan soal-soal sebelumnya. Yaitu, penyederhanaan logaritma dengan cara menggabungkan beberapa fungsi log yang memiliki indeks sama.

Jadi, untuk menggabungkan fungsi log tersebut kita harus tahu mana yang memiliki indeks yang sama. Yang memiliki indeks yang sama adalah 2 log 8; 1/2log 0,25; 2log 1.

Dari ketiga fungsi log di atas, ada satu yang di warnai merah, yaitu 1/2log 0,25 karena fungsi yang ini perlu kita ubah sedikit supaya menjadi indeks 2.

Jadi, yang perlu kita lakukan adalah dengan menggunakan salah satu sifat logaritma, yaitu sifat:

Sifat-sifat logaritma

Sehingga, bentuk 1/2log 0,25 bisa kita ubah menjadi,

Setelah kita dapatkan bentuk sebelumnya menjadi ber-indeks 2, maka sekarang kita bisa mulai menyelesaikan soal di atas dengan menggunakan sifat-sifat dasar seperti soal sebelumnya, yaitu

Sifat-sifat logaritma

Sehingga, pengerjaannya akan menjadi:

Contoh Soal Logaritma Nomor 13.

karena, 1/27 = 3-3

jadi, nilai yang di peroleh adalah -2.

14. Soal Logaritma Nomor 14.

Contoh Soal Logaritma yang terakhir, Tentukanlah nilai dari,

Sifat-sifat logaritma

Penyelesaian:

Untuk yang satu ini, sebenarnya cukup sederhana karena logaritma memiliki sifat:

alog b . blog c = alog c

Namun, dengan melihat soal di atas, kita perlu melakukan sedikit improvisasi, yaitu mengubah bentuk pecahan menjadi bilangan bulat berpangkat negatif. Sehingga, akan menjadi:

kemudian, dengan menggunakan sifat,

alog bn= n . alog b

maka,

akan menjadi,

Contoh Soal Logaritma Nomor 14.

Dan dengan sifat yang telah di sebutkan pada awal pembahasan ini, maka akan kita dapatkan:

= (-6) . alog a
= -6

Baca Juga:
Soal Matematika Kelas 4

Demikian, semoga bermanfaat.

One Reply to “Contoh Soal Logaritma”

Tinggalkan Balasan

%d blogger menyukai ini: