Contoh Soal Limit Tak Hingga: Penjelasan, Pembahasan, dan Rumus Praktis

HermanAnis.com – Teman-teman semua, pada tulisan kali ini kita akan membahas satu topik dalam pelajaran matematika yakni Contoh Soal Limit Tak Hingga dan Pembahasannya. Kami berikan 27 Contoh Soal Limit Tak Hingga lengkap dengan pembahasannya untuk membantu Anda dalam memahami konsep limit tak hingga.

Baca Juga: Contoh Soal Barisan Geometri

A. Apa itu limit?

Konsep limit di gunakan sebagai penjelas sifat dari suatu fungsi. Misalnya ketika kita ingin mengetahui nilai suatu fungsi pada satu nilai tertentu ataupun pada nilai tak hingga. Konsep ini kemudian di gunakan untuk keperluan analisis matematika dalam mencari nilai turunan suatu fungsi.

Lebih lanjut, melalui fungsi limit kita dapat menjelaskan bagaimana suatu fungsi mendekati titik tertentu. Fungsi sendiri berguna untuk memetakan keluaran misalnya nilai f(x) pada setiap masukan x. Bahasan kita kali ini hanya akan fokus pada limit tak hingga.

Baca juga : Rumus Luas Lingkaran

B. Cara menyelesaikan limit tak hingga

Cara menyelesaikan limit tak hingga dibagi menjadi 3, yaitu (1) substitusi langsung; (2) membagi dengan pangkat tertinggi; (3) merasionalkan penyebut. Sebagai materi prasyarat pada bahasan limit fungsi tak hingga, Anda harus mengingat kembali cara merasionalkan penyebut. Kalo Anda lupa gak perlu khawatir, di tulisan ini akan disajikan contoh soal beserta cara penyelesaiannya secara rinci.

1. Metode Substitusi Langsung

Penerapan metode substitusi langsung dalam menentukan atau menyelesaikan limit fungsi di ketakhinggan sangat mudah, sama halnya dengan limit fungsi aljabar, yakni dengan langsung mengganti x atau variabel lain dengan angka yang tertera di soal, seperti berikut:

Hal ini berlaku pula untuk limit tak hingga:

Sebagai contoh, gunakan metode substitusi untuk menentukan nilai Limit fungsi berikut:

1. lim x→ ∞ (x+ 3) = ∞ + 3 = ∞
2. lim x→∞ (x² + 2x − 4) = (∞)² + 2(∞) − 4 = ∞ + ∞ − 4 = ∞

2. Membagi dengan Pangkat Tertinggi

Misal kita akan mencari nilai,

Amati bahwa ketika x cukup besar, 1/x semakin kecil. Misalkan,

1/10 = 0,1
1/100 = 0,01
1/10.000 = 0,0001
1/1.000.000 = 0,000001

Nyatanya, dengan mengambil x cukup besar, kita dapat membuat sedekat yang diinginkan ke 0. Oleh karena itu, menurut definisi 1, kita mempunyai

Teorema limit yang diberikan pada modul sebelumnya berlaku juga untuk limit tak hingga.

3. Merasionalkan

Mudah-mudahaqn Anda masih ingat pelajaran bagaimana merasionalkan penyebt di SMP. Secara konsep pengetahuan itu akan digunakan dalam penyelesaian limit fungsi tak hingga. Mengapa harus dengan merasionalkan?? Dari namanya juga merasionalkan, maka kita bertujuan agar fungsi irasional yang diberikan dalam limit tak hingga tersebut dapat berubah menjadi rasional. Dengan demikian ini akan memudahkan dalam pengerjaan soalnya. Okay Anda perhatikan contoh soal berikut:

Hitungkah besar nilai dari limit tak hingga,

Cara menyelesaikan soal ini, kita akan mengalikan dengan bentuk sekawan dari fungsi tersebut yakni,

(ingat kembali pelajaran merasionalkannya yaa…). Sehingga akan diperoleh:

Nah cukup sudah caranya, berikut kami berikan 27 contoh soal limit tak hingga lengkap dengan penyelesaiananya.

C. 27 Contoh Soal Limit Tak Hingga

Contoh Soal Limit Tak Hingga yang kita sajikan tulisan ini dari kita mulai dari soal yang paling mudah sampai paling sulit.

Dengan banyak latihan dan memahami konsep dasar dari limit fungsi tak hingga. Bentuk limit fungsi tak hingga biasanya dibagi menjadi dua yaitu limit dengan fungsi pecahan dan limit pengurangan akar. Masing-masing memiliki cara yang sama, hanya saja yang paling umum adalah bentuk pecahannya.

Salah satu cara untuk memperdalam konsep limit tak hingga dengan cara mengerjakan soal-soal latihan limit fungsi tak hingga sebanyak-banyaknya. Mudah-mudahan soal-soal pada artikel ini bisa membantu teman-teman dalam memahami konsep limit tak hingga.

Baca Juga: Contoh Soal Logaritma

1. Contoh Soal Nomor 1.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

2. Contoh Soal Nomor 2.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Bagi semua suku dengan variabel yang memiliki pangkat tertinggi, untuk soal ini, pangkat tertingginya adalah x³, sehingga kita bagi semua suku dengan x³, dan di peroleh:

Kemudian cari nilai limitnya,

3. Contoh Soal Nomor 3.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Bagi semua suku dengan variabel yang memiliki pangkat tertinggi, untuk soal ini, pangkat tertingginya adalah x², sehingga kita bagi semua suku dengan x²,

Sehingga akan di peroleh,

Baca Juga: Contoh Soal Bilangan Bulat Positif dan Negatif Kelas 6

4. Contoh Soal Nomor 4.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Bagi semua suku dengan variabel yang memiliki pangkat tertinggi, untuk soal ini, pangkat tertingginya adalah x⁴, sehingga kita bagi semua suku dengan x⁴,

dan di peroleh,

Dari Soal Nomor 2 sampai 4 ini, dapat disimpulkan:

Aturan cepat ini bisa anda pakai untuk menjawab cepat soal model nomor 2 sampai 4. Mudah toh!!!!

5. Contoh Soal Nomor 5.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita bisa memulai dengan merasionalkan bentuk akar dengan cara mengalikannya dengan bentuk sekawan dari fungsi tersebut yakni,

(ingat kembali pelajaran merasionalkannya yaa…)

Kita lanjutkan,

Dari hasil ini diperoleh bahwa,

Bagi semua suku dengan variabel yang memiliki pangkat tertinggi, untuk soal ini, pangkat tertingginya adalah x², sehingga kita bagi semua suku dengan x²,

dan di peroleh,

6. Contoh Soal Nomor 6.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita bisa memulai dengan merasionalkan bentuk akar dengan cara mengalikannya dengan bentuk sekawan dari fungsi tersebut yakni,

sehingga akan di peroleh,

kemudian setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi, yakni x²

sehingga diperoleh,

7. Soal Nomor 7.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita bisa memulai dengan merasionalkan bentuk akar dengan cara mengalikannya dengan bentuk sekawan dari fungsi tersebut yakni,

Sehingga akan diperoleh,

Bagaimana Ananda setelah melihat ketiga contoh teerakhir tersebut? Apakah merasa pusing?

Bentuk soal nomor 5 dan 6 adalah lim𝑥→ ∞ √𝑓(𝑥) − √𝑔(𝑥). Perhatikan pangkat tertingginya. Untuk soal nomor 5 pangkat tertinggi ada di 𝑓(𝑥) maka hasil limitnya sama dengan ∞. Sedangkan soal nomor 6 pangkat tertinggi ada di 𝑔(𝑥) maka hasilnya sama dengan −∞. Sementara, untuk soal nomor 7 baik 𝑓(𝑥) maupun 𝑔(𝑥) pangkatnya sama yaitu 𝑥², dan hasilnya sama dengan −2.

Olehnya itu, maka kalo ketemu model soal seperti pada nomor 7, anda dapat gunakan rumus praktis berikut:

Jika ada limit dengan bentuk:

𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒑, 𝒒, 𝒓 ∈ 𝑹. Maka rumus praktisnya adalah,

Coba cek kebenaran rumus praktis ini untuk soal nomor 7. Mudah toh….

8. Contoh Soal Nomor 8.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Bagi semua suku dengan variabel yang memiliki pangkat tertinggi, untuk soal ini, pangkat tertingginya adalah x², sehingga kita bagi semua suku dengan x²,

Atau kalau mau mudahnya, ambil aja koefisien suku x² (pangkat tertinggi) saja. Jadi,

9. Soal Nomor 9.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Bagi pembilangan dan penyebut dengan x, mudah-mudahan teman-teman sudah paham mengapa dibagi dengan x bukang yang lain!

maka akan di peroleh,

Olehnya itu maka,

Kalau mau cara mudahnya, ambil saja koefisien suku x (pangkat tertinggi) saja.

Hasilnya sama toh!!!!

10. Contoh Soal Nomor 10.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Selanjutnya kalikan dengan bentuk sekawan dari fungsi tersebut, dan akan diperoleh,

Kemudian bagi pembilang dengan penyebut dengan x (pangkat tertinggi), maka akan diperoleh,

Kalo teman-teman ingin cara cepatnya, bisa gunakan persamaan,

Tapi ingat, ini hanya berlaku jika a=p,

11. Contoh Soal Nomor 11.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa gunakan rumus praktis berikut ini:

Perhatikan soalnya,

Pada soal, a = 9, b = 1, c = –6, d = 4, e = 2, f = 3, g = 1, h = 5, i = 1.
Jelas syarat,

terpenuhi, sebab

Sehinggga,

12. Contoh Soal Nomor 12.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa:

untuk setiap nilai x. Bagi semua ruas dengan bilangan positif x
sehingga menjadi:

Menurut teorema nilai apit,

Singkatnya, karena sin x itu nilainya terbatas dan

13. Contoh Soal Nomor 13.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Kita misalkan 1/x = m, sehingga 1/m = x, dan karena,

Sehingga

dapat dituliskan menjadi,

14. Contoh Soal Nomor 14.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Gunakan bilangan Euler untuk soal ini,

Misalkan, m = n/x. Jika,

Limit di atas menjadi,

15. Contoh Soal Nomor 15.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Soal ini mirip dengan soal sebelumnya. Karena cos nilainya terbatas, maka 1 + cos2x juga terbatas.

16. Contoh Soal Nomor 16.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

jangan lupa,

17. Contoh Soal Nomor 17.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Untuk memecahkan soal ini, gunakan pemisalan p =3^x.

Baca Juga : Soal Vektor Matematika dan Penyelesaiannya Kelas 10

18. Contoh Soal Nomor 18.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

19. Soal Nomor 19.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;

20. Contoh Soal Nomor 20.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan manipulasi aljabar seperti berikut ini:

21. Contoh Soal Nomor 21.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan mengalikan dengan akar sekawan,

Jika kita gunakan rumus alternatif mungkin hasilnya dapat lebih cepat. Nilai,

itu berarti,

Baca Juga:
Contoh Soal Nilai Mutlak Kelas 10 Kurikulum 2013

22. Soal Nomor 22.

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan mengalikan dengan akar sekawan.

Jika kita gunakan rumus alternatif mungkin hasilnya dapat lebih cepat. Nilai,

dimana,

23. Soal Nomor 23

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

24. Contoh Soal Nomor 24

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Soal ini ada keunikan karena rumus-rumus di atas tidak ada membahas yang seperti ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;

25. Soal Nomor 25

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Misalkan 1/x = y, dan cot y = 1/tan y. Maka untuk x mendekati tak hingga, maka y mendekati nol. Sehingga,

26. Contoh Soal Nomor 26

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

alkan 1/x = y, dan csc y = 1/sin y. Maka untuk x mendekati tak hingga, maka y mendekati nol. Sehingga,

27. Soal Nomor 27

Tentukan nilai dari limit berikut ini,

Penyelesaian:

Misalkan,

Maka untuk y mendekati tak hingga, maka x mendekati nol

Baca Juga: Soal Matriks dan Jawabannya Kelas 11

Download file pdfnya di Sini!

Sumber: Yuyun Sri. 2020. Limit Fungsi di Ketakhinggaan dan berbagai sumber lain.

Demikian,
semoga ada manfaaat