Contoh soal Barisan Geometri dan Pembahasannya

HermanAnis.com – Teman-teman semua, pada tulisan kali ini kita akan membahas satu topik dalam pelajaran matematika yakni, contoh soal barisan geometri. Contoh soal barisan geometri ini akan dilengkapi dengan pembahasan.

Sebelum kita bahas tentang contoh soal barisan geometri mari kita bahas dulu persamaan atau rumus-rumus yang dapat kita gunakan untuk menyelesaikan soal-soal terkait dengan deret geometri.

Baca Juga: Contoh Soal Logaritma

A. Rumus-rumus untuk menyelesaikan contoh soal barisan geometri

1. Barisan Geometri

Barisan geometri merupakan susunan bilangan yang memiliki nilai rasio sama antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Deret geometri terbagi menjadi dua yaitu barisan geometri turun dan barisan geometri naik. Sebuah barisan geometri di katakan sebagai barisan geometri naik jika memiliki nilai rasio lebih dari satu (r >1). Sedangkan barisan geometri turun di bentuk oleh nilai rasio antara nol dan satu (0 < r < 1).

Bentuk umum barisan geometri adalah

Suatu barisan disebut barisan geometri jika memiliki nilai rasio yang sama antar dua suku yang berurutan. Nilai rasio dapat di peroleh dari perbandingan dua suku yang berurutan.

Untuk menentukan rasio dari suatu barisan geometri dapat menggunakan rumus.

Dalam barisan geometri terdapat rumus yang dapat kita gunakan untuk menentukan nilai dari suatu suku ke n. Rumusnya adalah.

U_n = ar^n-1

Keterangan:
U_n = Suku ke – n
a = Suku pertama (U₁)
r = Rasio

Baca Juga: Contoh Soal Limit Tak Hingga

2. Deret Geometri

Deret geometri menyatakan penjumlahan dari suku-suku yang menyusun suatu barisan geometri. Bentuk umum deret geometri di nyatakan sebagai berikut.

U₁+ U₂ + U₃ + … + U_n

Barisan ini membentuk barisan bilangan geometri. Untuk menyatakan jumlah n suku dari suatu barisan geometri dapat menggunakan rumus berikut.

Deret naik ( r>1)

Deret turun (r<1)

Keterangan:
S_n = Jumlah suku ke – n dari deretan geometri
a = Suku pertama
r = Rasio

3. Deret Geometri Tak Terhingga

Deret geometri tak berhingga adalah deret geometri yang banyak sukunya tidak terbatas. Barisan geometri tak berhingga di bedakan menjadi dua jenis, yaitu deret konvergen dan divergen.

Deret konvergen adalah sebuah deret yang nilainya menuju suatu titik atau nilai tertentu. Ciri khas dari deret konvergen adalah mempunyai nilai rasio kurang dari 1 (r < 1).

Sedangkan deret divergen adalah sebuah deret yang nilanya tidak pernah menuju suatu titik atau bilangan tertentu. Ciri khusus deret konvergen adalah mempunyai nilai rasio lebih dari 1 ( r > 1 ).

Rumus deret geometri tak berhingga di nyatakan dalam persamaan di bawah.

Deret Konvergen (r < 1)

Deret Divergen (r > 1)

Selain rumus umum deret geometri tak berhingga di atas. Terdapat beberapa rumus umum deret geometri yang dapat Anda lihat pada tabel di bawah.

B. Contoh soal barisan dan deret geometri

Pada bagian ini akan di berikan contoh soal barisan geometri beserta pembahasannya. Berikut beberapa contoh soal barisan geometri.

1. Contoh soal barisan geometri

a. Tentukan Rasio dan suku ke – 5 dari barisan geometri: 3, 15, 75,….

Di ketahui: a = 3
Di tanyakan: Rasio dan Suku ke – 5 (U₅) = …?

Penyelesaian:

Rasio (r),

Suku ke – 5 (U₅)

b. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri di mana suku pertama adalah 16 dan rasionya adalah 2!

Di ketahui: U₁ = 16 dan r = 2
Di tanyakan: U₈=…?

Penyelesaian:

U₈ = U₁r ^8-1= U₁r⁷ = 16(2)⁷ = 2048

c. Suatu barisan geometri mempunyai nilai suku kedua dan kelima berturut – turut 8 dan 64. Tentukan nilai suku ketujuh bilangan tersebut!

Di ketahui: U₂ = 8 dan U₅ = 64
Di tanyakan: U₇ =…?

Penyelesaian:

d. Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….

Jika di tanyakan suku ke 5 atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin Anda bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau di tanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-100 akan sangat merepotkan dan lebih baik Anda harus menggunakan rumus barisan geometri.

Di ketahui: a = U₁ = 1/8
Di tanyakan: U₁₀ = …?

Penyelesaian:

Cari dulu rasio (r),

r = U₂/U₁ = 1/4 : 1/8 = 2

sehingga kita peroleh

U₁₀ = ar^n-1 = (1/8) 2^(10-1) = (1/8). 2⁹ = 64

2. Contoh soal Deret Geometri

a. Tentukan jumlah 9 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + …

Di ketahui: a = 3
Di tanyakan: S₉ =…?

Penyelesaian:

b. Jika rasionya 1/2 dari suku sebelumnya, tentukan jumlah 5 suku pertama dari 128 + 64 + 32 + …

Di ketahui: a = 128 dan r =1/2
Di tanya: S₅ =…?

Penyelesaian:

3. Contoh soal deret geometri tak terhingga

a. Tentukan jumlah deret tak hingga dari 16 + 8 + 4 +2 + …

Di ketahui: a = 16 dan r = 1/2
Di tanyakan: S_takhingga =…?

Penyelesaian:

b. Jika deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 12. Jika rasionya 1/3, tentukan suku pertamanya!

Di ketahui: S_takhingga = 12 dan r = 1/3
Di tanyakan: a = …?

Penyelesaian:

4. Contoh soal barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari

a. Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah
amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?

Di ketahui: a = 2 dan r = 2
Di tanyakan: jumlah amoeba setelah satu jam?

Penyelesaian:

KIta cari dulu n,

n = (1 jam/ 6 menit) + 1 = 11

Karena U_n = ar^n-1, maka,

U₁₀ = (2).(2)^(11-1) = 2¹⁰ = 1024

Jumlah amoeba setelah satu jam adalah 1024 amoeba.

Baca Juga: Contoh Soal Matriks dan Jawabannya Kelas 11

Sumber rujukan

• Intan Pariwara, 2017. Detik – Detik UNBK Matematika SMP. Klaten: PT. Intan Pariwara
• Yuliansyah, 2018. Buku Penunjang Bahan Ajar Matematika SMK/MAK. Banjarbaru: Suka Ilmu