HermanAnis.com – Contoh Soal Nilai Mutlak dan Jawabannya untuk Kelas 10 SMA sangat penting untuk memperdalam pemahaman konsep matematika ini. Dalam artikel ini, kami menyajikan berbagai contoh soal nilai mutlak yang dirancang khusus untuk Kelas 10 SMA, lengkap dengan jawaban dan pembahasan rinci. Setiap contoh soal disusun dengan langkah-langkah penyelesaian yang jelas, sehingga memudahkan Anda untuk mengikuti dan memahami proses perhitungan nilai mutlak.
Kami berkomitmen untuk memberikan penjelasan yang mendetail agar Anda dapat menguasai konsep nilai mutlak dengan lebih baik. Artikel ini bertujuan untuk menjadi sumber belajar yang efektif, membantu siswa mempersiapkan ujian dan memperkuat pemahaman matematika mereka. Dengan latihan soal yang kami sediakan, Anda dapat meningkatkan keterampilan matematika dan siap menghadapi tantangan akademis.
Baca Juga: Contoh Soal Matriks dan Pembahasan : Matematika kelas 11 SMA
A. Apa itu nilai mutlak?
Sebelum kita membahasa contoh soal nilai mutlak untuk Kelas 10, kita bahas dulu apa itu nilai mutlak? Seorang anak bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diam, si anak melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, di lanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya 1 langkah ke belakang.
Permasalahan:
- Buat sketsa lompatan anak tersebut?
- Tentukanlah berapa langkah posisi akhir anak tersebut dari posisi semula!
- Berapa langkah yang di jalani anak tersebut!
Kita definisikan lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif, dengan demikian lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif.
Dapatkah kamu membuat sketsa lompatan anak tersebut?
Perhatikan sketsa!
Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi diam si anak. Anak panah yang pertama A di atas garis bilangan menunjukkan, langkah pertama si anak sejauh 2 langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif), anak panah kedua B menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang (mengarah ke sumbu x negatif) dari posisi akhir langkah pertama, demikianlah seterusnya sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah ke 5 atau E.
Jadi, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1 langkah saja ke belakang (x = –1). Banyak langkah yang di jalani si anak merupakan konsep nilai mutlak, karena kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya.
Olehnya itu, banyak langkah selalu di nyatakan dengan bilangan bulat positif walaupun arahnya ke arah sumbu x negatif. Banyak langkah dapat di nyatakan dengan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat. Misalnya mundur 3 langkah di nyatakan dengan harga mutlak negatif 3(|-3|).
Sehingga banyak langkah anak tersebut adalah |2| + |-3| + |2| + |-1| + |-1| = 9 (9 langkah).
Berdasarkan kedua cerita dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik suatu kesimpulan tentang pengertian nilai mutlak? Jika x adalah variabel pengganti sebarang bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak dari x tersebut?
Baca Juga: Contoh Soal Bilangan Bulat Positif dan Negatif Kelas 6
1. Definisi nilai mutlak
Perhatikan bahwa x anggota himpunan bilangan real (ditulis xER). Berdasarkan tabel, kita melihat bahwa nilai mutlak dari x akan bernilai positif atau nol (non negatif ). Secara geometris, nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Dengan demikian, tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif, tetapi mungkin saja bernilai nol.
Nilai mutlak akan bernilai positif atau nol. Nilai mutlak adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Perhatikan garis bilangan berikut.
Ada beberapa contoh percobaan perpindahan posisi pada garis bilangan,yaitu sebagai berikut:
Catatan:
- Garis bilangan digunakan sebagai media untuk menunjukkan nilai mutlak.
- Tanda panah digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana arah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif, dan begitu juga sebaliknya. Arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif.
- Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.
Penjelasan
Garis bilangan 1: Tanda panah bergerak ke arah kanan berawal dari bilangan 0 menuju bilangan 3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti nilai |3| = 3 atau berjarak 3satuan dari bilangan 0.
Garis bilangan 5: Tanda panah bergerak ke arah kiri berawal dari bilangan 0 menuju bilangan -3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti bahwa nilai |-3| = 3 atau berjarak 3 satuan dari bilangan 0. Dari kedua penjelasan di atas, dapat dituliskan konsep nilai mutlak, sebagai berikut.
Misalkan x adalah bilangan real, |x| dibaca nilai mutlak x, dan didefinisikan
Definisi di atas dapat diungkapkan dengan kalimat sehari-hari seperti berikut ini. Nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa,
B. Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
Nilai mutlak dari suatu bilangan x dapat diartikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan, dengan tidak memperhatikan arahnya. Ini berarti |x| = 5 memiliki dua selesaian, karena terdapat dua bilangan yang jaraknya terhadap 0 adalah 5: x = –5 dan x = 5 (perhatikan gambar berikut).
Konsep ini dapat diperluas untuk situasi yang melibatkan bentuk-bentuk aljabar yang berada di dalam simbol nilai mutlak, seperti yang dijelaskan oleh sifat berikut
C. Sifat Persamaan Nilai Mutlak
Jika x merupakan suatu bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka |x| = k akan mengimplikasikan x = –k atau x = k. Seperti yang dinyatakan dalam sifat persamaan nilai mutlak, sifat ini hanya dapat diterapkan setelah kita mengisolasi simbol nilai mutlak pada satu ruas. Untuk lebih
jelasnya perhatikan contoh berikut.
Baca Juga: Contoh Soal Vektor Matematika dan Penyelesaiannya Kelas 10
D. Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak
1. Nomor 1. Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak
Contoh Soal Nilai Mutlak Kelas 10. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak |x+2| = 6!
Penyelesaian:
Penyelesaian soal nilai mutlak dapat dibuat dalam bentuk:
- x + 2 = 6,
sehingga akan diperoleh x = 4 - x + 2 = -6,
sehingga akan diperoleh x = -8
Dengan demikian maka nilai x yang memenuhi adalah {4,-8}
2. Nomor 2. Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak |x+2| + 3x = 4!
Penyelesaian:
Model ini sedikit berbeda dengan yang sebelumnya, bentuk aljabar di dalam tanda mutlak |x+2| penyelesaiannya dibagi menjadi dua yakni untuk nilai x>=-2 dan x <-2
- Untuk x >=-2
Persamaan mutlaknya dapat di tulis:
(x+2) + 3x = 4
4x =2
x =1/2 (terpenuhi, karena batasannya harus x >=-2
- Untuk x < -2
Persamaan mutlaknya dapat di tulis:
-(x+2) + 3x = 4
2x = 6
x =3
(tidak terpenuhi, karena batasannya harus untuk x<-2)Dengan demikian maka nilai x yang memenuhi adalah {1/2}
3. Nomor 3. Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Contoh Soal Nilai Mutlak Kelas 10. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |x+3| < 7.
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan ini cukup dibuatkan persamaan dalam bentuk rentang berikut:
-7< x + 3 < 7
-7 – 3 < x < 7 – 3
-10 < x < 4
Dengan demikian maka nilai x yang memenuhi adalah {x|-10 < x <4}
Baca Juga: Soal Matematika Kelas 4
4. Nomor 4. Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak – 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |x+2| ≥ |2x – 3|!
Penyelesaian:
Untuk model soal yang ini metode penyelesaiannya cukup dengan mengkuadratkan kedua ruasnya.
(x+2)2 ≥ (2x – 3)2
(x+2)2 – (2x – 3)2 ≥ 0
karena diketahui bahwa. a2 – b2=(a+b)(a-b) dimana
a = x+2 dan b= 2x-3
sehingga selanjutnya dapat ditulis menjadi,
((x+2+2x-3)((x+2)-(2x-3)) ≥ 0
(3x-1)(-x+5) ≥ 0
dengan demikian maka x pembuat nolnya adalah:
x = 1/3 dan x = 5
Selanjutnya kita cek, nilai x yang memenuhi persamaan:
(3x-1)(-x+5) ≥ 0
- Untuk x = 0, jika disubtitusikan akan diperoleh,
-5 ≥ 0 (ini berarti tidak memenuhi)
- Untuk x =1, jika disubtitusikan akan diperoleh,
8 ≥ 0 (ini berarti memenuhi)
- Ambil x = 6, jika disubtitusikan akan diperoleh,
-17 ≥ 0 (ini berarti tidak memenuhi)
Dengan demikian maka nilai x yang memenuhi adalah { 1/3 ≤ x ≤5 }
Baca juga: Rumus Luas Lingkaran
5. Contoh 6. Soal grafik fungsi dari nilai mutlak
Contoh Soal Nilai Mutlak Kelas 10. Gambarkan grafik f( x) = | x – 2 | yang menyatakan besar simpangan pada titik x = 2.
Penyelesaian:
Gambarkan grafik f (x ) = |x-2| yang menyatakan besar simpangan pada titik x = 2.
Langkah 1.
Buatlah tabel untuk menunjukkan pasangan titik-titik yang mewakili grafik tersebut.
Langkah 2.
Letakkanlah titik-titik yang kamu peroleh pada Tabel di atas pada koordinat kartesius, maka akan di peroleh gambaran seperti berikut
Baca juga: Contoh Soal Limit Tak Hingga
6. Contoh 6. Soal Persamaan Nilai Mutlak
Perhatikan grafik f(x) =|x – 2|, Lihatlah penyimpangan grafik terhadap sumbu x. Dapatkah kamu beri kesimpulan?Bagaimana dengan penyimpangan pada grafik f (x) = |x -p| terhadap sumbu x, untuk p bilangan real.Selanjutnya, mari kita amati hubungan antara |x| dengan akar x2 pada tabel berikut.
Tabel hubungan antara |x| dengan akar x2
Dapatkah kamu mengambil kesimpulan hubungan antara
berdasarkan tabel di atas?
Pertidaksamaan Linier
Untuk setiap a, b, c bilangan real, dengan a ≠0.
a. Jika |ax + b| = c dengan c ≥ 0, maka salah satu berikut ini berlaku
- ax + b = c, untuk x ≥ – b/a
- –(ax + b) = c, untuk x < – b/a
b. Jika |ax + b| = c dengan c < 0, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan |ax + b|. Untuk setiap bilangan real, jika:
- a ≥ 0 dan |x| ≤ a, maka –a ≤ x ≤ a.
- a ≤ 0 dan |x| ≤ a, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan.
- |x| ≥ a, dan a ≥ 0, maka x ≥ a atau x ≤ a.
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Contohnya, lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar di nyatakan lulus dari ujian, dan batas berat bersih suatu kendaraan yang di perbolehkan oleh dinas angkutan umum.
7. Contoh 7. Soal Persamaan Linier
Contoh Soal Nilai Mutlak Kelas 10. Ayah Budi lebih muda di banding pamannya tetapi lebih tua dari ibunya. Sementara umur bibinya hanya satu tahun lebih tua dari umur ibunya tetapi satu tahun lebih muda dari umur ayahnya. Budi berencana mengurutkan umur antara ayah, ibu, paman, dan bibinya berdasarkan umur mereka yang lebih tua. Dapatkah kamu membantu Budi dalam mengatasi permasalahan tersebut?
Penyelesaian:
Berdasarkan informasi dari soal, buatlah variabel-variabel dan definisinya,
- Umur ayah = A
- Usia ibu = I
- Umur paman = P
- Usia bibi = B
Dari penjelasan permasalahan di atas, di peroleh informasi bahwa:
- Ayah lebih muda di banding paman, maka A < P
- Ayah lebih tua dari ibu, maka A > I atau I < A
- Umur bibi hanya satu tahun lebih tua dari umur ibu, maka I + 1 = B atau B > I
- Umur bibi satu tahun lebih muda dari ayah, maka A – 1 = B atau B < A
Dengan mengamati pola di atas, yaitu A < P, I < A, I < B, dan B < A. Sehingga, urutan umur mereka mulai dari tertua ke termuda adalah P > A > B > I.
Dengan demikian maka kesimpulannya adalah paman lebih tua di banding ayah, ayah lebih tua di banding bibi, dan bibi lebih tua di banding ibu.
8. Contoh 8. Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Selesaikanlah pertidaksamaan berikut dengan metode umum |2x + 1| ≥ |x –3|!
Penyelesaian:
Langkah 1:
Ingat bahwa,
sehingga:
Langkah 2:
Menetukan pembuat nol, dari persamaan terakhir akan di peroleh,
Langkah 3:
Letakkan pembuat nol dan tanda pada garis bilangan,
Langkah 4:
Menentukan interval penyelesaian. Dalam hal ini, interval penyelesaian merupakan selang nilai x yang membuat pertidaksamaan bernilai positif, sesuai dengan tanda pertidaksamaan pada soal di atas.
Berdasarkan persamaan yang mau di uji, |2x + 1| ≥ |x –3|
Kita cek untuk x = 0,
|2(0) + 1| ≥ |(0) –3|
|1| ≥ |3|,
hasil ini tentunya tidak benar. Dengan demikian maka x = 0 tidak memenuhi.
Dengan cara yang sama, teman-teman dapat mengujinya dengan x = -5 atau x = 1. Jika ini di lakukan maka kedua nilai tersebut memenuhi pertidak samaannya.
Dengan demikian arsiran pada interval di bawah ini adalah interval penyelesaian pertidaksamaan tersebut.
Langkah 5:
Menuliskan kembali interval penyelesaian
HP ={x|x ≤-4 atau x ≥2/3}
Permasalahan di atas dapat di selidiki dengan memperlihatkan grafik y = |2x + 1| dan grafik y = |x + 3|, untuk setiap x ∈ R.
Berdasarkan grafik pada Gambar 2.4, kita memperoleh grafik sebagai berikut
Pertidaksamaan |2x + 1| ≥ |x – 3| dapat di lihat sebagai grafik fungsi f(x) = |2x + 1| berada di atas grafik f(x) = |x – 3|.
Dari Gambar 2.11 terlihat bahwa pernyataan itu benar untuk nilai x dalam himpunan
HP ={x|x ≤-4 atau x ≥2/3, x ∈ R }
9. Contoh 9. Penerapan secara kontekstual
Contoh Soal Nilai Mutlak Kelas 10 Kurikulum 2013 terakhir. Seorang bayi lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Ibu dan Anak dengan berat badan 2.200 gram. Untuk mengatur suhu tubuh bayi tetap stabil, maka harus di inkubator selama beberapa hari. Suhu inkubator harus di pertahankan berkisar antara 32OC hingga 35OC selama 2 hari.
Ternyata jika berat badan berada pada interval BB: 2.100–2.500 gram, maka suhu inkubator yang harus di pertahankan adalah 34OC. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0.2OC maka hitunglah interval perubahan suhu inkubator!
Penyelesaian:
Pada kasus bayi ini, kita sudah mendapatkan data dan suhu inkubator yang harus di pertahankan selama 1–2 hari semenjak kelahiran adalah 34°C.
Misalkan T adalah segala kemungkinan perubahan suhu inkubator akibat pengaruh suhu ruangan, dengan perubahan yang di harapkan sebesar 0.2OC, maka nilai mutlak suhu tersebut dapat kita modelkan, sebagai berikut:
|T – 34OC| ≤ 0,2OC
Kasus ini dapat kita selesaikan melalui cara berikut
Cara I. (Dengan mengamati sketsa)
sehingga interval kenaikan suhu inkubator adalah interval
33,8OC ≤ T ≤ 34,2OC}
Cara II. (Secara Aljabar)
Dengan mengingat bahwa,
maka,
sehingga akan di peroleh,
Dengan demikian maka, nilai pembuat nol adalah T = 34,2OC atau T = 33,8OC
Baca Juga :
– Sistem Sonar dan Pemanfaatannya
– Hukum Snellius
– Contoh Soal Hukum Archimedes
Sumber Rujukan:
- Matematika: Buku Guru/ Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2017
Demikian,
Semoga bermanfaat.
Eksplorasi konten lain dari Herman Anis
Berlangganan untuk dapatkan pos terbaru lewat email.
