Pembuktian Teorema Pythagoras

HermanAnis.com – Teman-teman semua, dalam tulisan kali ini kita akan membahas pembuktian rumus dalam pelajaran matematika yakni, Pembuktian teorema Pythagoras. Salah satu buku yang mengulas teorema Pythagoras adalah “The Pythagorean Proposition” karya Elisha Scott Loomis, di dalamnya mengulas 256 pembuktian teorema Pythagoras. Dalam tulisan ini, kami akan membahas tiga pembuktian.

Sebenarnya teorema ini telah di kenal jauh sebelum Pythagoras, seperti di Mesir, contohnya penggunaan panjang tali 3-4-5 untuk menentukan sudut segitiga siku-siku. Namun, nama teorema ini disematkan pada “Pythagoras” oleh karena Pythagoraslah yang pertama kali memberi bukti kebenaran teorema tersebut. Pythagoras seorang ahli matematika Yunani pada abad ke-enam Masehi.

Dapatkan file elektronik Buku fisika kelas 11 pada link ini

A. Teorema Pythagoras

Sebelum kita membahas tentang pembuktian teorema Pythagoras, kita bahas dulu apa sih itu Pythagora? Teorema Pythagoras menggunakan Luasan Bangun. Pada sebuah segitiga siku-siku, terdapat dua sisi siku-siku dan satu sisi miring (hipotenusa). Sisi miring (hipotenusa) terletak di depan sudut siku-siku.

Gambar di atas adalah segitiga ABC yang siku-siku di A. Sisi yang membentuk sudut siku-siku di sebut sisi siku-siku, yaitu AB dari AC. Sisi di hadapan sudut siku-siku di sebut sisi miring atau hipotenusa, yaitu BC.

Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku: Luas persegi pada hipotenusa sama dengan jumlahj luas persegi pada sisi yang lain (sisi siku-sikunya).

Perhatikan gambar di bawah ini!

Bila segitiga ABC siku-siku di titik A, maka berlaku:

BC² = AC² + AB²

a² = b² + c²,
b² = a²– c²,
c² = a²– b².

Contoh penggunaan rumus dalam teorema Pythagoras

Misalkan segitiga ABC siku-siku di titik A. AB = 4 cm dan AC = 3 cm. Hitunglah panjang BC!

Jadi, panjang BC = 5 cm

Dalam tulisan ini hanya akan di uraikan beberapa pembuktian saja, di antaranya pembuktian dari Euclic, gambar luasan dan aljabar.

Baca Juga : Jari-jari lingkaran

B. Pembuktian Teorema Pythagoras

Pembuktian teorema Pythagoras di lakukan dengan cara menghitung luasan yang hasilnya dapat di gunakan untuk menghitung panjang suatu sisi segitiga siku=siku.

1. Pembuktian Teorema Pythagoras dari Euclid

Pembuktian yang pertama adalah pembuktian teorema pythagoras dari Euclid. Berikut penjelasannya. Perhatikan gambar di bawah ini!

Perhatikan segitiga siku-siku ABC, dengan C sudut siku-siku. Jika di tarik garis dari titik C sejajar AP atau BQ sehingga memotong AB di D dan PQ di E, maka jika BC = a dan AC = b dapat di tunjukkan bahwa:

Luas BDEQ = a² dan Luas ADEP = b²

Sekarang, kita akan membuktikan bahwa luas BDEQ = a² dan luas ADEP = b². Perhatikan gambar di bawah ini!

Perhatikan segitiga ABC, berdasarkan kesebangunan segitiga, maka dapat di tuliskan bahwa:

sehingga akan di peroleh: x = b²/c.

Dengan demikian maka, luas (i)= xc menjadi,

Dengan cara yang sama, dapat di tunjukkan, luas (ii) = a². Sehingga

Kita telah membuktikan bahwa luas BDEQ = a² dan luas ADEP = b² maka di peroleh,

Ternyata kita dapat menentukan dua “partisi” persegi berbentuk persegipanjang pada hipotenusa, yang masing-masing luasnya sama dengan luas persegi pada sisi-sisi penyiku dari segitiga siku-siku yang di berikan.

Baca Juga: Rumus Keliling Lingkaran

2. Pembuktian menggunakan Luasan Bangun

Berikutnya, pembuktian teorema pythagoras dengan menggunakan Luasan Bangun. Perhatikan gambar di bawah ini!

Berdasarkan gambar di atas akan di peroleh luasan persegi A, Persegi B, Persegi C dan hubungan antara luas A, B dan C.

Dari hasil ini dapat di simpulkan bahwa, antara bangun A, B, dan C

Pada Segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, c dan c sebagai sisi miring (sisi yang terpanjang), maka berlaku:

a² + b² = c²

Rumus ini di kenal sebagai Teorema Pythagoras: “kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi siku-sikunya”

Demikian poembuktian yang kedua, pembuktian teorema pythagoras menggunakan Aljabar.

Baca Juga: Rumus Luas Lingkaran

3. Pembuktian dengan menggunakan Aljabar

Pembuktian yang ketiga adalah pembuktian teorema pythagoras menggunakan Aljabar. Berikut penjelasannya.

Perhatikan gambar berikut ini!

Dari gambar dapat di tuliskan,

Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 x Luas segitiga

Sehingga terbukti bahwa, 𝒄^𝟐 = 𝒂^𝟐 + 𝒃²

Demikian semoga bermanfaat.