Pembuktian Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

HermanAnis.com – Teman-teman semua, dalam tulisan kali ini kita akan membahas satu topik dalam matematika yakni pembuktian rumus jumlah dan selisih dua sudut. Tulisan ini bertujuan untuk membuktikan dan menunjukkan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus dari rumus jumlah dua sudut atau rumus selisih dua sudut.

Mari kita mulai!

A. Pembuktian Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. Aturan cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut

Pada bagian ini kita akan membuktikan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut untuk aturan cosinus. Perhatikan gambar berikut:

Pada gambar di samping titik A, B, C, D terletak pada lingkaran berjari-jari 1. Berdasarkan gambar dapat di tuliskan:

• Untuk sudut α dan r = 1,
  x = r. cos α =cos α
  y = r. sin α =sin α
• Untuk sudut (α + β) dan r = 1,
  x = r. cos (α + β) = cos (α + β)
  y = r. sin (α + β) = sin (α + β)
• Untuk sudut -β dan r = 1,
  x = r. cos (-β) = cos β
  y = r. sin (-β) = -sin β

dari gambar, dapat di hitung bahwa panjang AC adalah,

sedangkan panjang BD adalah,

Karena Besar sudut ∠BOD = ∠COA maka AC² = BD² sehingga dapat di peroleh,

Jika sudut β adalah searah jarum jam maka,

Sehingga akan di peroleh rumus aturan kosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut yakni,

Baca juga: Rumus Keliling Lingkaran

2. Aturan sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut

Pada bagian ini kita akan membuktikan rumus aturan sinus jumlah dan selisih dua sudut. Berdasarkan gambar 1 di atas, sudut berelasi di kuadran I, jika

maka akan di peroleh,

Begitu juga untuk sin(α − β ) maka

Jadi akan di peroleh pembuktian rumus aturan sinus untuk penjumlahan dan selisih dua sudut yaitu,

Baca juga: Rumus Luas Lingkaran: Cara menghitung dan contoh soal

3. Aturan tangen untuk jumlah dan selisih dua sudut

Pembuktian rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk aturan sinus diberikan sebagai berikut. Pada bagian ini kita akan membuktikan rumus aturan tangen untuk penjumlahan dan selisih dua sudut. Dengan menggunakan identitas perbandingan maka akan di peroleh:

Dengan cara yang sama maka di peroleh:

sehingga akan di peroleh aturan tangen untuk penjumlahan dan selisih dua sudut yaitu,

B. Pembuktian Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Cosinus

Pembuktian rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk aturan cosinus diberikan sebagai berikut. Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan penjumlahan dalam cosinus yaitu sebagai berikut.

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

Misalkan,

Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan kedalam persamaan di atas. Nilai A kita ganti dengan 1/2 (α + β), dan cos B kita ganti dengan 1/2 (α – β), selanjutnya (A + B) kita ganti dengan α dan (A – B) kita ganti dengan β. Dengan demikian maka dapat dituliskan menjadi:

2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β) = cos α + cos β

sehingga diperoleh,

Untuk pembuktian rumus pengurangan cosinus, perhatikan uraian berikut:

Berdasarkan rumus,

2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)

dan dengan memisalkan,

A + B = α

dan

A – B = β

maka dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya maka akan kita peroleh rumus:

C. Pembuktian Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus

Pembuktian rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk aturan sinus diberikan sebagai berikut. Berdasarkan persamaan,

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)

dengan memisalkan

A + B = α

dan

A – B = β

maka akan di peroleh rumus:

Untuk cara pembuktian lainnya, anda bisa lihat dalam file berikut:

Pembuktian Rumus Dengan Cara Lain

Sumber:

• Modul Matematika dasar 2 yang di susun oleh Khairul Basari.
• e-Modul 2019. Direktorat Pembinaan SMA – Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan