Contoh soal Logaritma dan Pembahasannya

HermanAnis.com. Teman-teman semua, pada kesempatan ini kita akan membahas satu topik dalam pelajaran matematika yakni contoh soal logaritma. Contoh soal logaritma yang akan di sajikan telah di lengkapi dengan pembahasan untuk memudahkan memahaminya.

A. Pengertian Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan, logaritma di definisikan sebagai berikut:

Misalkan a, b, c ∈ 𝑅, a> 0, 𝑎 ≠ 1, dan c > 0, maka berlaku jika 𝑎^𝑏 = 𝑐 maka log_𝑎 𝑐 = 𝑏

Keterangan :
a = bilangan pokok (basis), syarat : 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1
c = numerus, syarat : 𝑐 > 0
b = hasil/nilai logaritma

Note:
Basis 10 biasanya tidak di tuliskan, log₁₀ 𝑥 = log x.

Baca juga: Rumus Luas Lingkaran: Cara menghitung dan contoh soal

B. Sifat-sifat Logaritma

Sifat-sifat logaritma yang akan sering Anda pakai nantinya adalah,

Pembuktian :
Misal log_𝑎 𝑥 = 𝑚 , maka 𝑥 = 𝑎^𝑚, oleh karena itu di peroleh 𝑎^{log𝑎 𝑥} =𝑎^𝑚 = x.

Baca Juga: Contoh Soal Matriks dan Jawabannya Kelas 11

C. Persamaan Logaritma

Bentuk Persamaan Logaritma:

• log_𝑎 𝑓(𝑥) = log_𝑎 𝑏 → 𝑓(𝑥) = 𝑏. Dengan 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑓(𝑥) > 0, dan 𝑏 >0
• log_𝑎 𝑓(𝑥) = log_𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Dengan 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑓(𝑥) > 0, dan 𝑔(𝑥) > 0
• log_𝑎 𝑓(𝑥) = log_𝑏 𝑓(𝑥) → 𝑓(𝑥) = 1. Dengan 𝑎, 𝑏 > 0, 𝑎, 𝑏 ≠ 1, 𝑎 ≠ 𝑏, dan 𝑓(𝑥) > 0
• log_𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = log_𝑓(𝑥) ℎ(𝑥) → 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥). Dengan 𝑓(𝑥) ≠ 1, 𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) > 0, dan ℎ(𝑥) > 0.
• log_𝑓(𝑥) ℎ(𝑥) = log_𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) → 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) = 1. Dengan ℎ(𝑥) > 0, 𝑓(𝑥) ≠ 1, 𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) ≠ 1 dan 𝑔(𝑥) > 0
• 𝐴(log_𝑎 𝑓(𝑥))² + 𝐵 log_𝑎 𝑓(𝑥) + 𝐶 = 0

D. Pertidaksamaan Logaritma

Bentuk Pertidaksamaan Logaritma

• Bilangan pokok 𝑎 > 1
  1. log_𝑎 𝑓(𝑥) > log_𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) dengan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) > 0
  2. log_𝑎 𝑓(𝑥) ≥ log_𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) dengan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) > 0
  3. log_𝑎 𝑓(𝑥) < log_𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) dengan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) > 0
  4. log_𝑎 𝑓(𝑥) ≤ log_𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) dengan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) > 0 b.

• Bilangan pokok 0 < 𝑎 < 1
  1. 1. log_𝑎 𝑓(𝑥) > log_𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) dengan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) > 0
  2. log_𝑎 𝑓(𝑥) ≥ log_𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) dengan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) > 0
  3. log_𝑎 𝑓(𝑥) < log_𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) dengan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) > 0
  4. log_𝑎 𝑓(𝑥) ≤ log_𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) dengan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) > 0

Kesimpulan:

• Jika bilangan pokok(basis) 𝑎 > 1, hanya perlu memperhatikan numerus pada masing masing logaritma, gunakan tanda penghubung ketidaksamaan yang sama
• Jika bilangan pokok(basis) 0 < 𝑎 < 1, hanya perlu memperhatikan numerus pada masing masing logaritma, gunakantanda penghubung ketidaksamaan yang sama.
• Jika bilangan pokok(basis) 0 < 𝑎 < 1, hanya perlu memperhatikan numerus pada masing masing logaritma, gunakan tanda penghubung ketidaksamaan yang berlawanan.
• Selalu cek numerus, setiap numerus harus bernilai positif.

Baca Juga: Contoh Soal Limit Tak Hingga

E. Grafik Fungsi Logaritma

Di berikan 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 dengan 𝑎, 𝑥 > 0 dan 𝑎 ≠ 1

1. Jika 𝑓(𝑥) di geser ke kanan (searah sumbu 𝑥 positif) sebesar b satuan, akan menghasilkan 𝑔(𝑥) dimana, 𝑔(𝑥) = log𝑎(𝑥 − 𝑏)
2. Jika 𝑓(𝑥) di geser ke kiri (searah sumbu 𝑥 negatif) sebesar b satuan, akan menghasilkan 𝑔(𝑥) dimana 𝑔(𝑥) = log𝑎(𝑥 + 𝑏)
3. Jika 𝑓(𝑥) di geser ke atas (searah sumbu y positif) sebesar c satuan, akan menghasilkan 𝑔(𝑥) dimana 𝑔(𝑥) = log𝑎 𝑥 + 𝑐
4. Jika 𝑓(𝑥) di geser ke bawah (searah sumbu y negatif) sebesar c satuan, akan menghasilkan 𝑔(𝑥) di mana, 𝑔(𝑥) = log𝑎 𝑥 − 𝑐

Di berikan fungsi 𝑦 = log_𝑎 (𝑥 + 𝑏) + 𝑐. Asimtotnya garis 𝑥 = −𝑏
Di berikan fungsi 𝑦 = log𝑎 𝑔(𝑥). Nilai Maksimum dan Minimum:

• Jika 𝑎 > 1
  Nilai fungsi 𝑦 maksimum saat numerus 𝑔(𝑥) maksimum Nilai fungsi 𝑦 minimum saat numerus 𝑔(𝑥) minimum b.
• Jika 0 < 𝑎 < 1
  Nilai fungsi 𝑦 maksimum saat numerus 𝑔(𝑥) minimum. Nilai fungsi 𝑦 minimum saat numerus 𝑔(𝑥) maksimum.

F. Contoh Soal Logaritma

1. Contoh Soal Logaritma Nomor 1.

Hitunglah besar dari ²log 4 + ²log 12 – ²log 6!

Penyelesaian:

Untuk soal seperti di atas, maka kita perlu mengingat sifat logaritma,

sehingga, untuk menyelesaikan soal di atas, kita gunakan kedua sifat logaritma tersebut. Dimana perhitungannya akan menjadi:

Kemudian, untuk penyelesaian akhir, kita perlu mengingat sifat berikutnya, yaitu:

sehingga, penyelesaian akhirnya akan menjadi seperti berikut ini:

2. Soal Logaritma Nomor 2.

Hitunglah nilai x dari ^xlog2 = -0,4

Penyelesaian:

3. Contoh Nomor 3.

Tentukan nilai x yang memenuhi ^alog (3x-1) ⁵log a = 3

Penyelesaian:

^alog (3x-1) ⁵log a = 3 —> ⁵log (3x-1) = 3

sehingga akan di peroleh,

4. Soal Logaritma Nomor 4.

Tentukan nilai x yang memenuhi,

Penyelesaian:

Dan yang memenuhi adalah x = 6.

5. Contoh Nomor 5.

Jika a = 0,111…. maka tentukan maka nilai dari ⁴log 729.

Penyelesaian:

6. Soal Logaritma Nomor 6.

Jabarkanlah bentuk logaritma dari,

Penyelesaian:

7. Contoh Nomor 7.

Tentukan nilai dari ²log 48 + ⁵log 50 – ²log 3 – ⁵log 2

Penyelesaian:

Sebelum mengerjakan, mari kita lihat perbedaan antara soal no. 1 dengan no. 7 ini.
Perbedaannya adalah :

• Pada soal no. 1, indeks logaritma merupakan indeks yang seragam (indeks 2)
• Sedangkan pada soal no. 7, indeks logaritma yang digunakan indeks tidak seragam (indeks 2 dan indeks 5)

Nah, tentu saja dengan perbedaan seperti ini, maka kita tidak bisa langsung menyelesaikannya seperti soal no. 1 di atas. Akan tetapi, soal no. 7 ini perlu di utak-atik sedikit supaya bisa di selesaikan dengan sifat-sifat yang ada.

Utak-atik yang perlu kita lakukan adalah dengan menggabungkan masing-masing logaritma dengan yang sejenis atau ber-indeks sama (indeks 2 dengan indeks 2, indeks 5 dengan indeks 5), sehingga soal tersebut

²log 48 + ⁵log 50 – ²log 3 – ⁵log 2

akan menjadi,

²log 48 – ²log 3 + ⁵log 50 – ⁵log 2

Kemudian, soal tersebut bisa kita hitung dengan sifat:

Maka akan di peroleh,

Sekarang kita gunakan sifat berikutnya:

^alog bⁿ= n . ^alog b

Dan juga gunakan sifat: ^alog a = 1

Sehingga, penyelesaiannya akan menjadi:

²log 2⁴ + ⁵log 5² = 4 . ²log 2 + 2 . ⁵log 5

²log 2⁴ + ⁵log 5² = 4 + 2 = 6

8. Contoh Nomor 8.

Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010, maka tentukan nilai dari log 75.

Penyelesaian:

Untuk soal yang modelnya begini ini, ada kunci pengerjaannya yang harus kita paham. Yaitu adalah keterangan yang menunjukkan nilai log 2 dan log 3. Dengan adanya keterangan tambahan tersebut, berarti yang harus ada di pikiran kita adalah bagaimana mengubah bentuk log 75 menjadi bentuk logaritma yang mengandung unsur bilangan 2 dan 3.

75 = 3 . 25 = 3 . 5²

Sehingga, bila kita ubah bilangan 75 tersebut dengan 3 . 5² maka akan kita dapatkan:

log 75 = log (3 . 5²)

dengan menggunakan sifat,

^alog (b.c) = ^alog b + ^alog c

akan di peroleh,

log 75 = log 3 + log 5²

kemudian dengan menggunakan sifat,

^alog bⁿ = n. ^alog b

akan di peroleh,

log 75 = log 3 + 2. log 5

Dengan mengubah bilangan 5 pada log 5 tersebut, karena di dalam soal yang diberi keterangan adalah log 2 dan log 3, sedangkan log 5 tidak di beri keterangan apapun. Untuk itu, trik yang perlu di lakukan di sini adalah:

5 = 10/2

Bilangan 5 tersebut perlu kita ubah ke dalam suatu bilangan yang mengandung unsur bilangan 2 dan nilainya tidak berubah (tetap bernilai 5). Sehingga, jika kita selesaikan, akan menjadi:

karena dari sifat,

kita bisa tuliskan,

Karena, log 10 = 1, log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010 maka akan di peroleh,

log 75 = log 3 + 2. (1 – log 2)

log 75 = = 0,4771 + 2 .(1 – 0,3010)

log 75 = = 1,8751

9. Contoh Soal Logaritma Nomor 9.

Jabarkanlah bentuk logaritma dari,

Penyelesaian:

10. Contoh Nomor 10.

Tentukan nilai x dari,

Penyelesaian:

11. Contoh Soal Logaritma Nomor 11.

Tentukan nilai x dari,

Penyelesaian:

12. Contoh Nomor 12.

Modal sebesar Rp 30.000.000,00 di simpan di sebuah bank yang memberikan suku bunga majemuk sebesar 12% per tahun. Berapa tahunkah modal itu di simpan di bank agar modalnya menjadi Rp 39.000.000,00?

Penyelesaian:

Gunakan persamaan:

M_n = M₀ (1 + r)ⁿ

dengan,

M_n = modal akhir
M₀ = modal awal
r = suku bunga dalam %
n = waktu (bisa satun, bulan, dll)

Sehingga dengan persamaan tersebut, maka akan di peroleh,

Maka, modal itu di simpan di bank selama 2,3 tahun agar modalnya menjadi Rp 39.000.000,00.

13. Contoh Nomor 13.

Tentukan nilai dari,

Penyelesaian:

Pada soal kali ini, masih mirip dengan soal-soal sebelumnya. Yaitu, penyederhanaan logaritma dengan cara menggabungkan beberapa fungsi log yang memiliki indeks sama.

Jadi, untuk menggabungkan fungsi log tersebut kita harus tahu mana yang memiliki indeks yang sama. Yang memiliki indeks yang sama adalah 2 log 8; ^1/2log 0,25; ²log 1.

Dari ketiga fungsi log di atas, ada satu yang di warnai merah, yaitu ^1/2log 0,25 karena fungsi yang ini perlu kita ubah sedikit supaya menjadi indeks 2.

Jadi, yang perlu kita lakukan adalah dengan menggunakan salah satu sifat logaritma, yaitu sifat:

Sehingga, bentuk ^1/2log 0,25 bisa kita ubah menjadi,

Setelah kita dapatkan bentuk sebelumnya menjadi ber-indeks 2, maka sekarang kita bisa mulai menyelesaikan soal di atas dengan menggunakan sifat-sifat dasar seperti soal sebelumnya, yaitu

Sehingga, pengerjaannya akan menjadi:

karena, 1/27 = 3^-3

jadi, nilai yang di peroleh adalah -2.

14. Soal Logaritma Nomor 14.

Contoh Soal Logaritma yang terakhir, Tentukanlah nilai dari,

Penyelesaian:

Untuk yang satu ini, sebenarnya cukup sederhana karena logaritma memiliki sifat:

^alog b . ^blog c = ^alog c

Namun, dengan melihat soal di atas, kita perlu melakukan sedikit improvisasi, yaitu mengubah bentuk pecahan menjadi bilangan bulat berpangkat negatif. Sehingga, akan menjadi:

kemudian, dengan menggunakan sifat,

^alog bⁿ= n . ^alog b

maka,

akan menjadi,

Dan dengan sifat yang telah di sebutkan pada awal pembahasan ini, maka akan kita dapatkan:

= (-6) . ^alog a
= -6

G. Latihan soal logaritma

Kerjakanlah soal berikut ini sebagai bentuk latihan dalam memperdalam konsep Anda terkait Logaritma!

1. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma atau sebaliknya.

2. Sederhanakan bentuk akar berikut ini.

a. ⁹log 81
b. ²log 64 – ²log 16

3. Jika ⁵log 4 = 𝑚, ⁴log 3 = 𝑛, nyatakan ¹²log 100 dalam 𝑚 dan n!

Penyelesaian:

1. Bentuk pangkat berdasarkan soal ini adalah:

2. Bentuk sederhana dari ⁹log 81 dan ²log 64 – ²log 16 adalah,

3. Berikut jawaban untuk soal nomor 3:

Baca Juga: Soal Matematika Kelas 4

Dapatkan file pdfnya di SINI!

Demikian, semoga bermanfaat.