SOAL ONMIPA Fisika: Elektrodinamika

HermanAnis.com — Artikel berjudul SOAL ONMIPA Fisika: Elektrodinamika dan Pembahasannya ini menyajikan pembahasan rinci dan sistematis terhadap soal-soal pilihan dari bidang elektrodinamika yang pernah muncul dalam ajang ONMIPA-PT Fisika tingkat nasional. Tulisan ini akan membedah setiap soal secara konseptual dan matematis, disertai langkah-langkah penyelesaian yang detail untuk memperkuat pemahaman mahasiswa terhadap topik-topik penting seperti medan listrik, rapat muatan, hukum Gauss, hingga persamaan Maxwell. Diharapkan, pembaca dapat menggunakan tulisan ini sebagai referensi belajar yang efektif dalam menghadapi seleksi ONMIPA-PT maupun dalam memperdalam materi kuliah fisika modern dan elektromagnetika.

Berikut ini kami akan berikan solusi dari soal Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA-PT) bidang Fisika materi Elektrodinamika.

SoaL ONMIPA Fisika – Elektrodinamika 1: Monopole Magnetik

Di antara empat persamaan Maxwell, ada satu persamaan yang menunjukkan bahwa monopole magnetik itu tidak ada. Tuliskanlah persamaan yang menyatakan hal tersebut!

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal ini, kita harus mengingat kembali keempat persamaan Maxwell dalam elektromagnetisme. Masing-masing dari persamaan tersebut menggambarkan aspek fundamental dari medan listrik dan medan magnet. Salah satu dari persamaan tersebut menunjukkan bahwa tidak ada muatan magnetik (atau magnetic monopole), artinya medan magnet tidak memiliki sumber seperti medan listrik.

Persamaan Maxwell yang menyatakan ketiadaan monopole magnetik adalah hukum Gauss untuk magnet. Persamaan ini secara matematis menunjukkan bahwa fluks magnetik total yang menembus permukaan tertutup selalu nol, yang mengimplikasikan bahwa tidak ada sumber (muatan) magnet seperti halnya muatan listrik.

Berikut adalah bentuk diferensial dari hukum Gauss untuk magnet:

\nabla \cdot \vec{B} = 0

Artinya, divergensi dari medan magnet B adalah nol. Ini menunjukkan tidak adanya muatan magnetik (monopole) karena jika ada, maka divergensi medan magnet akan bernilai bukan nol, seperti dalam kasus medan listrik yang divergensinya sebanding dengan kerapatan muatan listrik.

Persamaan ini merupakan salah satu dari empat persamaan Maxwell dan secara eksplisit menyatakan bahwa medan magnet selalu bersifat solenoidal (tertutup), tidak memiliki sumber atau ujung pangkal, tidak seperti medan listrik yang berasal dari muatan listrik.

SoaL ONMIPA Fisika – Elektrodinamika 2: Rapat Muatan dari Medan Listrik Bola

Jika medan listrik pada suatu daerah dinyatakan oleh persamaan

\vec{E} = \frac{1}{r} \left( A \hat{r} + B \sin \theta \cos \phi \, \hat{\phi} \right)

(dalam koordinat bola), dengan A dan B masing-masing adalah suatu konstanta. Tentukanlah rapat muatan listrik pada daerah tersebut!

Penyelesaian:

Untuk menentukan rapat muatan listrik pada suatu daerah, kita perlu menggunakan hukum Gauss dalam bentuk diferensial. Dalam bentuk ini, hukum Gauss menghubungkan divergensi medan listrik dengan rapat muatan listrik melalui persamaan:

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

Dengan demikian, langkah pertama kita adalah menghitung divergensi dari medan listrik E dalam koordinat bola.

Medan listrik yang diberikan adalah:

\vec{E} = \frac{1}{r} \left( A \hat{r} + B \sin \theta \cos \phi \, \hat{\phi} \right)

Untuk menghitung divergensi dalam koordinat bola, kita gunakan rumus umum divergensi vektor:

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 E_r \right) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \, E_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial E_\phi}{\partial \phi}

Dari bentuk medan listrik, kita identifikasi komponen-komponennya:

\begin{aligned}
\bullet \quad E_r &= \frac{A}{r} \\
\bullet \quad E_\theta &= 0 \\
\bullet \quad E_\phi &= \frac{B \sin \theta \cos \phi}{r}
\end{aligned}

Mari kita hitung satu per satu:

1. Komponen radial

\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \cdot \frac{A}{r} \right) = \frac{1}{r^2} \cdot A = \frac{A}{r^2}

2. Komponen θ

\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (0) = 0

3. Komponen ϕ

\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \left( \frac{B \sin \theta \cos \phi}{r} \right) = \frac{-B \sin \phi}{r^2}

Sekarang kita jumlahkan semua hasilnya:

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{A}{r^2} - \frac{B \sin \phi}{r^2} = \frac{1}{r^2} (A - B \sin \phi)

Gunakan hukum Gauss dalam bentuk diferensial:

\frac{\rho}{\varepsilon_0} = \nabla \cdot \vec{E} \Rightarrow \rho = \varepsilon_0 \nabla \cdot \vec{E}

Sehingga:

\rho = \frac{\varepsilon_0}{r^2} (A - B \sin \phi)

Rapat muatan listrik di daerah tersebut adalah:

\rho = \frac{\varepsilon_0}{r^2} (A - B \sin \phi)

Persamaan ini menunjukkan bahwa rapat muatan listrik bergantung pada posisi sudut ϕ dalam koordinat bola, serta nilai konstanta A dan B.

Soal 3: Medan Magnet oleh Kawat Berarus dalam Bentuk Setengah Lingkaran

Sebuah kawat dialiri arus listrik I, dibentuk menjadi setengah lingkaran berjari-jari R pada bidang XY. Hitung besar dan arah induksi magnetik B di titik P (pusat lingkaran)!

Penyelesaian

Untuk menjawab soal ini, kita akan menggunakan hukum Biot–Savart, yang menyatakan bahwa elemen kecil medan magnet dB yang dihasilkan oleh elemen arus Idl pada titik yang berjarak r dinyatakan sebagai:

d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I \, d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}

Dalam soal ini, kawat dibentuk menjadi setengah lingkaran pada bidang XY, dan kita ingin mencari medan magnet di titik pusat O dari setengah lingkaran tersebut.

1. Identifikasi Geometri

• Jari-jari lingkaran: R
• Arus listrik: I
• Posisi titik O: pusat lingkaran
• Bentuk kawat: setengah lingkaran (dari sudut 0 hingga π)
• Posisi kawat: berada di bidang XY

2. Arah Vektor

Pada setiap elemen kecil dl di sepanjang busur, vektor r yang menunjuk dari dl ke titik O selalu tegak lurus dengan arah dl. Karena itu:

|d\vec{l} \times \hat{r}| = |d\vec{l}| \cdot |\hat{r}| \cdot \sin(90^\circ) = |d\vec{l}|

Vektor dl×r selalu tegak lurus terhadap bidang lingkaran, yaitu arah sumbu Z (mengarah ke dalam atau keluar bidang tergantung arah arus).

3. Substitusi ke dalam Hukum Biot–Savart

Karena r = R konstan dan sudut antara dl dan r adalah 90⁰, maka besar elemen medan magnet:

dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I \, dl}{R^2}

Arah B: menggunakan kaidah tangan kanan. Jika arus mengalir searah putaran jarum jam dilihat dari atas, maka medan magnet mengarah masuk bidang (arah −z).

4. Integrasi Medan Magnet

Total medan magnet B di titik O diperoleh dengan mengintegrasikan semua dB sepanjang setengah lingkaran:

B = \int dB = \int \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I \, dl}{R^2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R^2} \int dl

Integral ∫dl adalah panjang busur setengah lingkaran, yaitu:

\int dl = \pi R

Maka:

B = \frac{\mu_0 I}{4\pi R^2} \cdot \pi R = \frac{\mu_0 I}{4 R}

5. Arah Medan Magnet

Gunakan kaidah tangan kanan: arahkan jari-jari ke arah arus di kawat setengah lingkaran, maka ibu jari menunjukkan arah medan magnet.

Jika arus berputar searah jarum jam (dilihat dari atas), maka arah medan magnet ke dalam bidang: −z. Jika berlawanan arah jarum jam, maka +z.

Besar medan magnet di titik pusat Oadalah:

\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4 R} \, \hat{n}

di mana n adalah vektor satuan ke arah sumbu z, ditentukan oleh arah arus. Jika arus berlawanan arah jarum jam, maka n = z. Jika searah jarum jam, maka n =−z.

SOAL ONMIPA Fisika: Elektrodinamika 4: Medan magnet disekitar kawat

Sebuah kawat setengah lingkaran seperti pada gambar di bawah memiliki jari-jari dalam a dan jari-jari luar b. Tentukan medan magnet diditik P (dititik tengah) jika kawat tersebut dialiri arus listrik sebesar I!

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan hukum Biot–Savart, yang menjelaskan bagaimana medan magnet ditimbulkan oleh elemen kecil kawat berarus.

1. Memahami Bentuk Kawat

Kawat dibentuk sebagai setengah cincin, terdiri dari:

• Setengah lingkaran dalam berjari-jari aaa
• Dua kawat lurus radial (dari a ke b) – medan magnet dari bagian ini nol di titik P karena arah dl sejajar dengan vektor posisi r ke titik P → dl×r =0
• Setengah lingkaran luar berjari-jari b.

Titik P adalah titik tengah cincin, yaitu berada pada pusat dari lingkaran.

2. Medan Magnet oleh Setengah Lingkaran

Medan magnet di pusat lingkaran oleh kawat setengah lingkaran berjari-jari R yang dialiri arus I dinyatakan oleh:

B = \frac{\mu_0 I}{4 R}

Arah medan magnet ditentukan oleh kaidah tangan kanan. Jika arus mengalir searah putaran jarum jam dilihat dari atas, maka medan magnet mengarah masuk bidang (−z). Jika berlawanan arah jarum jam, maka ke luar bidang (+z).

3. Superposisi Medan Magnet

Medan magnet total di titik P adalah hasil penjumlahan vektor dari:

• Medan magnet B_a​ oleh setengah lingkaran berjari-jari a
• Medan magnet B_b​ oleh setengah lingkaran berjari-jari b

Besarnya masing-masing:

B_a = \frac{\mu_0 I}{4a}, \quad B_b = \frac{\mu_0 I}{4b}

Perhatikan arah arus:

• Jika arus mengalir searah jarum jam di lingkaran luar dan berlawanan jarum jam di lingkaran dalam, maka arah B_a​​ dan B_b​ akan saling meniadakan.
• Jika arus searah di keduanya, maka arah medan juga akan searah.

Kita asumsikan dalam soal ini bahwa arus mengalir dari jari-jari dalam ke luar secara melingkar, sehingga arah arus pada kedua bagian berlawanan ⇒ medan magnet saling mengurangi.

4. Hitung Medan Magnet Total

Karena arah medan saling berlawanan, kita ambil selisihnya:

B = B_a - B_b = \frac{\mu_0 I}{4a} - \frac{\mu_0 I}{4b}

Faktorkan:

B = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)

Arah medan ditentukan oleh bagian mana yang lebih besar. Jika a < b, maka 1/a >1/b​ ⇒ arah medan sesuai arah dari kawat bagian dalam.

Besar medan magnet di titik P adalah:

\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \hat{n}

di mana arah n ditentukan oleh arah arus. Jika arus mengalir searah jarum jam di bagian luar, maka arah medan B adalah masuk bidang (−z).

Nanti dilanjutkan lagi…